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Questions de type QCM⚓︎

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Question 1

Quelle est la forme factorisée de \((7y+3)^2-25\) ?

  • \((49y-22)(49y+28)\)
  • \((7y-22)(7y+28)\)
  • \(49y^2+42y-16\)
  • \((7y-2)(7y+8)\)
Réponse

On constate que c'est une différence entre deux carrés, on peut alors factoriser avec

\[a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\]

Ainsi, on a successivement :

  • \(E = (7y+3)^2-25\)
  • \(E = (7y+3)^2-5^2\)
  • \(E = (7y+3+5)(7y+3-5)\)
  • \(E = (7y+8)(7y-2)\)

Variante

On peut aussi procéder rapidement par élimination.

C'est classique, pour \(y=0\), l'expression vaut \(9-25=-16\), ce qui élimine deux propositions.

Parmi les deux restantes, une seule est sous forme factorisée ; on peut donc répondre en quelques secondes à la question.

Question 2

Quelle est la forme factorisée de \((2x+3)^2-(2x+3)(x-5)\) ?

  • \((2x+3)(-x-3)\)
  • \((2x+3)(-x+7)\)
  • \((2x+3)(x-2)\)
  • \((2x+3)(x+8)\)
Réponse

On reconnait une expression de la forme \(a^2 -ab\) que l'on peut factoriser par \(a\) en \(a(a-b)\)

Ainsi, on a successivement :

  • \(E = (2x+3)^2-(2x+3)(x-5)\)
  • \(E = (2x+3)((2x+3) - (x-5))\)
  • \(E = (2x+3)(2x+3 - x+5)\)
  • \(E = (2x+3)(x+8)\)

Variante

On peut aussi procéder rapidement par élimination.

C'est classique, pour \(x=0\), l'expression vaut \(9-(-15)=24\), ce qui élimine trois propositions immédiatement. En effet, pour \(x=0\)

  • ❎ \((2x+3)(-x-3) = -9\)
  • ❎ \((2x+3)(-x+7) = 21\)
  • ❎ \((2x+3)(x-2) = -6\)
  • ✅ \((2x+3)(x+8) = 24\)

On peut donc répondre en quelques secondes à la question.

Question 3

Quelle est la forme développée de \((3x-2)^2 - (5x+2)^2\) ?

  • \(-2x^2+4\)
  • \(-16x^2+8x+8\)
  • \(-2x^2-4\)
  • \(-16x^2-32x\)
Réponse

⚠ On ne demande pas de factoriser l'expression...

On a successivement :

  • \(E = (3x-2)^2 - (5x+2)^2\)
  • \(E = (9x^2 - 12x +4) - (25x^2+20x+4)\)
  • \(E = 9x^2 - 12x +4 - 25x^2-20x-4\)
  • \(E = -16x^2 - 32x\)

Variante

On peut aussi procéder rapidement par élimination.

C'est classique, pour \(x=0\), l'expression vaut \(4-4=0\), ce qui élimine trois propositions immédiatement. En effet, pour \(x=0\)

  • ❎ \(-2x^2+4 = 4\)
  • ❎ \(-16x^2+8x+8 = 8\)
  • ❎ \(-2x^2-4 = -4\)
  • ✅ \(-16x^2-32x = 0\)

On peut donc répondre en quelques secondes à la question.

Question 4

\((u_n)\) est une suite arithmétique de nombres réels de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(2\).

Quelle est la phrase vraie dans la liste ?

  • On est certain que \(u_{5} = 96\)
  • On est certain que \(u_n = u_{n+1} + 2\) pour tout \(n\)
  • Il est possible que \(u_n = u_{n+1} + 2\) pour un certain \(n\)
  • Il est impossible d'avoir \(u_n = 2022\) pour un certain \(n\)
Réponse

La suite est arithmétique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(2\), donc \(u_n=2n+3\) et \(u_{n+1} = u_n + 2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

  1. ❎ \(u_5 = 2×5+3 = 13 \neq 96\)
  2. ❎ Erreur de signe, ce serait \(-2\)
  3. ❎ Pour aucun \(n\)
  4. ✅ L'équation \(2n+3 = 2022\) aurait pour solution \(n=1009.5\) qui n'est pas entier. Ainsi \(u_n=2022\) est impossible, pour \(n\in\mathbb N\).

Question 5

\((u_n)\) est une suite arithmétique de nombres réels de raison \(7\).

Quelle est la phrase vraie dans la liste ?

  • On est certain que \(u_{1000} > 0\)
  • On est certain que \(u_{10} > u_{1000}\)
  • Il est possible que \(u_{10} > u_{1000}\)
  • Il est possible d'avoir \(u_{10} = 2023\)
Réponse

La suite est arithmétique de raison \(7\), donc \(u_n=7n + u_0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

  1. ❎ Faux, si \(u_0 = -8000\), par exemple
  2. ❎ Faux, si \(u_0 = 0\), par exemple
  3. ❎ Faux en général. \(70+u_0 < 7000+u_0\) pour tout \(u_0\in\mathbb R\)
  4. ✅ L'équation \(70+u_0 = 2023\) a pour solution \(u_0=1953\)

Question 6

\((u_n)\) est une suite arithmétique de nombres réels de premier terme \(u_0=0\).

Quelle est la phrase vraie dans la liste ?

  • Il est impossible d'avoir \(u_{1000} = 1001\)
  • Il est possible d'avoir \(u_1 \times u_2 = -1\)
  • Il est possible d'avoir \(u_0 \times u_1 = +1\)
  • Il est certain que \(u_{1000} - u_{100} = u_{900}\)
Réponse

La suite est arithmétique de premier terme \(0\), donc \(u_n=rn\) pour tout \(n\in\mathbb N\), où \(r\) est la raison.

  1. ❎ C'est possible avec \(r=1.001\)
  2. ❎ Faux, \(u_1 \times u_2 = 2r^2 > 0\)
  3. ❎ Faux, \(u_0 \times u_1 = 0\)
  4. ✅ \(u_{1000} - u_{100} = 1000r - 100r = 900r = u_{900}\)

Question 7

À quoi sert la fonction Python ci-dessous ?

🐍 Script Python
def mystere(n):
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + i**3
    return somme
  • Elle renvoie \(\sum_{i=0}^{n-1} 3i\) en fonction de \(n\)
  • Elle renvoie \(\sum_{i=0}^{n} 3i\) en fonction de \(n\)
  • Elle renvoie \(\sum_{i=0}^{n} i^3\) en fonction de \(n\)
  • Elle renvoie \(\sum_{i=0}^{n-1} i^3\) en fonction de \(n\)
Réponse
  • range(n) fait \(n\) tours de boucles de \(0\) inclus à \(n\) exclu.
  • i**3 correspond à \(i^3\)

La fonction renvoie donc \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} i^3\) en fonction de \(n\)

Question 8

\((u_n)\) est une suite géométrique de nombres réels de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(2\).

Quelle est la phrase vraie dans la liste ?

  • Il est possible d'avoir \(u_n = 2022\) pour un certain \(n\)
  • On est certain que \(u_n = u_{n+1} + 2\) pour tout \(n\)
  • Il est possible que \(u_n = u_{n+1} + 2\) pour un certain \(n\)
  • On est certain que \(u_{5} = 96\)
Réponse

La suite est géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(2\), donc \(u_n=3×2^n\) et \(u_{n+1} = 2u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Les premières valeurs de \(u_n\) sont : \(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, \cdots\)

  1. ❎ La suite est croissante et évite \(2022\) dans les premiers termes.
  2. ❎ C'est faux pour \(n=0\) par exemple.
  3. ❎ C'est faux en général, la suite est croissante.
  4. ✅ \(u_5 = 3×2^5 = 3×32 = 96\)

Question 9

\((u_n)\) est une suite géométrique de nombres réels de premier terme \(u_0 = 1\).

Quelle est la phrase vraie dans la liste ?

  • On est certain que \(u_{2}\) est négatif
  • On est certain que \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont de même signe pour tout \(n\)
  • Il est possible que \(u_2\) soit strictement négatif
  • On est certain que \(u_0×u_2 = u_1^2\)
Réponse

La suite est géométrique de premier terme \(u_0 = 1\), donc \(u_n=q^n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

  1. ❎ Faux avec \(q=1\), \(u_2 = 1 > 0\)
  2. ❎ Faux avec \(q\) négatif
  3. ❎ \(u_2 = q^2 \geqslant 0\)
  4. ✅ \(u_0×u_2 = 1×q^2 = u_1^2\)

Question 10

On considère l'équation sur \(\mathbb R\) : \(3x^2-5x+7=0\)

  • Cette équation possède 2 solutions.
  • Cette équation possède 3 solutions.
  • Cette équation possède 1 seule solution.
  • Cette équation n'a pas de solution.
Réponse

C'est un trinôme du second degré en \(x\) de discriminant \(\Delta = (-5)^2 - 4×3×7 = 25-84 <0\)

Ainsi, cette équation n'a pas de solution.

Question 11

On considère l'équation sur \(\mathbb R\) : \(3x^2+bx-5=0\) où \(b\) est un nombre réel inconnu.

  • Cette équation n'a pas de solution.
  • Cette équation possède 3 solutions.
  • Cette équation possède 1 seule solution.
  • Cette équation possède 2 solutions.
Réponse

C'est un trinôme du second degré en \(x\) de discriminant \(\Delta = b^2 - 4×3×(-5) = b^2+60 >0\)

Ainsi, cette équation possède 2 solutions.

Question 12

On considère l'équation sur \(\mathbb R\) : \(ax^2+3x-5=0\) où \(a\) est un nombre réel inconnu.

Quelle phrase est vraie ?

  • Cette équation n'a pas de solution.
  • Cette équation possède 3 solutions.
  • Si \(a\) est strictement positif, il est possible que l'équation aie une seule solution.
  • Si \(a\) est négatif, il est possible que l'équation n'aie pas de solution.
Réponse

Si \(a\neq0\), c'est un trinôme du second degré en \(x\) de discriminant \(\Delta = 3^2 - 4×a×(-5) = 9+20a\)

  1. ❎ Faux, avec \(a=1\), par exemple.
  2. ❎ Faux, toujours.
  3. ❎ Faux, si \(a>0\), alors \(\Delta=9+20a>9>0\)
  4. ✅ Vrai, avec \(a=-1\) par exemple, \(\Delta=9-20<0\)

Question 13

On considère l'équation sur \(\mathbb R\) : \(ax^4+bx^2+c=0\) où \(a, b, c\) sont des nombres réels inconnus, avec \(a\neq 0\) et \(b^2-4ac=0\).

Quelle phrase est vraie ?

  • Cette équation peut avoir \(2\) ou \(4\) solutions.
  • Cette équation possède toujours 2 solutions.
  • Cette équation n'a qu'une seule solution.
  • Cette équation peut avoir \(0\), \(1\) ou \(2\) solutions.
Réponse

C'est un trinôme du second degré en \(x^2\) de discriminant \(\Delta = b^2 - 4×a×c = 0\), on peut donc l'écrire \((x^2 - b/a)^2\)

En fonction du signe de \(b\) :

  • Si \(b<0\), l'équation \(ax^4+bx^2+c=0\) n'a aucune solution.
  • Si \(b=0\), l'équation \(ax^4+bx^2+c=0\) a une seule solution.
  • Si \(b>0\), l'équation \(ax^4+bx^2+c=0\) a deux solutions.

Question 14

Quelle phrase est vraie ?

  • Un angle en radians est toujours compris entre \(-\pi\) et \(\pi\).
  • Un angle en radians est toujours compris entre \(0\) et \(\pi\).
  • Un angle en radians est toujours compris entre \(0\) et \(2\pi\).
  • Un angle en radians peut être tout nombre réel.
Réponse

Un angle en radians peut être tout nombre réel.

Question 15

Quelle phrase est vraie ?

  • La tangente de \(\frac{-\pi}4\) n'est pas définie.
  • La tangente de \(\frac{-\pi}4\) est positif.
  • Le sinus de \(\frac{-\pi}4\) est positif.
  • Le cosinus de \(\frac{-\pi}4\) est positif.
Réponse

Le cosinus de \(\frac{-\pi}4\) est positif.

Question 16

Quel angle en radian a le même point image que \(\frac{2023\pi}6\) sur le cercle trigonométrique ?

  • \(\frac{\pi}6\)
  • \(\frac{-\pi}6\)
  • \(\frac{5\pi}6\)
  • \(\frac{-5\pi}6\)
Réponse

\(2023 = 12×168+7\), donc \(\frac{2023\pi}6 = 168×2\pi + \frac{7\pi}6\)

Ainsi \(\frac{2023\pi}6\), \(\frac{7\pi}6\) et \(\frac{-5\pi}6\) ont le même point image sur le cercle trigonométrique.

Question 17

Que vaut \(\tan\left(\frac\pi 6\right)\) ?

  • \(1\)
  • \(\sqrt 3\)
  • \(\frac{1+\sqrt 3}2\)
  • \(\frac{1}{\sqrt 3}\)
Réponse

On sait que \(\sin\left(\frac\pi 6\right) = \dfrac{1}2\) et \(\cos\left(\frac\pi 6\right) = \dfrac{\sqrt3}2\), d'où

\(\tan\left(\frac\pi 6\right) = \frac{1}{\sqrt 3}\)

Question 18

Que vaut \(\tan\left(\frac\pi 4\right)\) ?

  • \(\frac{1}{\sqrt 3}\)
  • \(\sqrt 3\)
  • \(\frac{1+\sqrt 3}2\)
  • \(1\)
Réponse

On sait que \(\sin\left(\frac\pi 4\right) = \dfrac{\sqrt 2}2\) et \(\cos\left(\frac\pi 4\right) = \dfrac{\sqrt 2}2\), d'où

\(\tan\left(\frac\pi 6\right) = 1\)