Exercices⚓︎
Applications directes⚓︎
18, 19 : Vrai ou Faux⚓︎
18.1 Si \(\vec u \cdot \vec v= 0\) alors \(\vec u = \vec 0\) ou \(\vec v = \vec 0\)
Réponse
Faux, il suffit d'avoir deux vecteurs orthogonaux, par exemple : avec \(\vec u = \binom 10\) et \(\vec v = \binom 01\), on a
or les deux cevteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non nuls.
18.2 Si les normes de deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.
Réponse
Faux, avec deux vecteurs de norme \(1\), on a \(\vec u \cdot \vec v = \cos(\vec u\,,\vec v)\) qui peut être non entier, comme lorsque l'angle formé vaut \(\frac{\pi}4\) et dont le cosinus vaut \(\frac{\sqrt2}2\) qui est irrationnel.
19.1 Si \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\), alors \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\)
Réponse
Vrai, on a \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CD} = (-\overrightarrow {AB}) \cdot \overrightarrow {CD} = -(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD}) = -0 = 0\)
23 à 27 : Calculer \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}\)⚓︎
23.1 Avec \(AB = 1\), \(AC=5\), et \(\left(\overrightarrow {AB}\,,\overrightarrow {AC}\right) = 40°\)
Réponse
On a \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 × 5 × \cos(40°) \approx +3.83\)
Pour l'exercice 25
\(H\) est le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\).
25.1 Avec \(AB = 4\), \(AH=3\), et \(H\in[AB)\)
Réponse
On a \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4 × 3 × (+1) = +12\)
26.1 Avec \(\overrightarrow {AB} = \binom{0}{-2}\) et \(\overrightarrow {AC} = \binom{5}{-1}\)
Réponse
On a \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0×5 + (-2)×(-1) = 0+2 = +2\)
27.1 Avec \(AB = 3\), \(AC = 4\) et \(BC=6\)
Réponse
On a \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac12 (AB^2 + AC^2 - BC^2) = \frac12(3^2+4^2-6^2)=\frac12(9+16-36)=-5.5\)
28 : Simplifier⚓︎
\((3\vec u)\cdot(2\vec v)\)
On a \((3\vec u)\cdot(2\vec v) = 6 \vec u \cdot \vec v\)
29 : calculer des produits scalaires⚓︎
\(ABCD\) est un carré de centre \(O\) et de côté \(c\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}\)
On utilise le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\), on obtient :
30 : Démonstration⚓︎
Indice
Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, on peut montrer qu'un produit scalaire est nul.
31 : Équation de droite⚓︎
Déterminer une équation cartésienne de la droite \(D\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\).
Avec \(A(2\,;-1)\) et \(\vec n=\binom{3}{-2}\)
Une équation sera de la forme \(\mathcal D : ax+by+c = 0\), avec \(a=3\) et \(b=-2\) d'après le vecteur normal donné. Ainsi
\(\mathcal D\) passe par \(A(2\,;-1)\), donc on a \(3×2-2×(-1) + c = 0\), d'où on tire \(c = -(6+1) = -7\), et enfin
Formules⚓︎
42 : Python⚓︎
Écrire une fonction norme qui prend en paramètre les coordonnées x, y d'un vecteur et qui renvoie la norme de ce vecteur.
Réponse
from math import sqrt
def norme(x, y):
return sqrt(x * x + y * y)
Écrire une fonction produit_scalaire qui prend les coordonnées x, y, x_, y_ de deux vecteurs et qui renvoie le produit scalaire des deux vecteurs.
Réponse
def produit_scalaire(x, y, x_, y_):
return x * x_ + y * y_
43 : Calculs⚓︎
Avec \(\vec u = \binom{1-\sqrt2}{1}\) et \(\vec v = \binom{1+\sqrt2}{-4}\)
Calculer \(\vec u \cdot \vec v\)
Calculer \((3\vec u) \cdot \vec v\)
\((3\vec u) \cdot \vec v = 3(\vec u \cdot \vec v) = 3×(-5) = -15\)
Calculer \((4\vec u) \cdot (-2\vec v)\)
\((4\vec u) \cdot (-2\vec v) = 4×(-2)×(\vec u \cdot \vec v) = 4×(-2)×(-5) = +40\)
Calculer \(\vec u \cdot (\sqrt 2\vec u -\vec v)\)
On a \(\sqrt 2\vec u = \binom{\sqrt 2(1-\sqrt 2)}{\sqrt 2 \times 1} = \binom{\sqrt 2 - 2}{\sqrt 2}\)
D'où \(\sqrt 2\vec u -\vec v = \binom{(\sqrt 2 - 2) - (1+\sqrt 2)}{\sqrt 2 - \sqrt 2} = \binom{-3}{0}\)
Ainsi \(\vec u \cdot (\sqrt 2\vec u -\vec v) = (1-\sqrt 2)\times(-3) + 1\times 0 = 3\sqrt2 - 3\)
44 : Avec un triangle équilatéral⚓︎
\(ABC\) est un triangle équilatéral dont les côtés mesurent \(2~\text{cm}\).
\(I\) est le pied de la hauteur issue de \(A\).
Calculer \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA}\)
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BI} = 2×1×(+1) = +2\)
Calculer \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BI}\)
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BI} \cdot \overrightarrow {BI} = 1×1×(+1) = +1\)
Calculer \(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {AC}\)
\(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {AI} = \sqrt 3×\sqrt 3×(+1) = +3\)
Variante
\(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {AC} =(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CI}) \cdot \overrightarrow {AC} = (\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AC}) + (\overrightarrow {CI} \cdot \overrightarrow {AC}) = 2×2×(+1) + (\overrightarrow {CI} \cdot \overrightarrow {IC}) = 4 + 1×1×(-1) = +3\)
Vecteur normal⚓︎
74 : Démonstration⚓︎
On considère \(ABC\) un triangle avec \(A(4\,;-3)\), \(B(5\,;3)\) et \(C(-2\,;3)\)
Déterminer une équation de la hauteur issue de \(A\)
La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \(BC\), donc un vecteur normal est \(\overrightarrow {BC} = \binom{-2-5}{3-3} = \binom{-7}{0}\), une équation cartésienne est donc \(-7x+0y+c=0\).
Or cette hauteur passe par \(A(4\,;-3)\), on déduit
\(-7×4+0×(-3) + c = 0\), d'où \(c=-28\), et une équation de la hauteur étant \(\mathcal H_A: -7x-28=0\), ou bien \(\mathcal H_A: x+4=0\)
... TODO