Exercices résolus

Applications directes

27 : Simplifier les expressions

\(A = \frac{\mathrm e^6}{\mathrm e^2}\)

\[ \begin{align*} A &= \frac{\mathrm e^6}{\mathrm e^2}\\ A &= \mathrm e^{6-2}\\ &\boxed{A = \mathrm e^4}\\ \end{align*} \]

\(B = \frac{(\mathrm e^3)^2}{\mathrm e^{-2}}\)

\[ \begin{align*} B &= \frac{(\mathrm e^3)^2}{\mathrm e^{-2}}\\ B &= \mathrm e^{3×2-(-2)}\\ &\boxed{B = \mathrm e^{8}}\\ \end{align*} \]

\(C = \frac{\mathrm e^{-2}×(\mathrm e^{3})^2}{\mathrm e^{2}}\)

\[ \begin{align*} C &= \frac{\mathrm e^{-2}×(\mathrm e^{3})^2}{\mathrm e^{2}}\\ C &= \mathrm e^{-2+3×2-2}\\ C &= \mathrm e^{-2+6-2}\\ &\boxed{C = \mathrm e^{2}}\\ \end{align*} \]

28 : Compléter les pointillés

\(\mathrm e^{\cdots} × \mathrm e^{7} × \mathrm e^{-2} = \mathrm e^{3}\)

\(\mathrm e^{x} × \mathrm e^{7} × \mathrm e^{-2} = \mathrm e^{3}\) est successivement équivalent à

• \(\mathrm e^{x+7-2} = \mathrm e^{3}\)
• \(x+7-2 = 3\)
• \(x = 3+2-7\)
• \(\boxed{x = -2}\)

\((\mathrm e^3)^4×\mathrm e^{\cdots} = \mathrm e^{3} × \mathrm e^{-1}\)

\((\mathrm e^3)^4×\mathrm e^x = \mathrm e^{3} × \mathrm e^{-1}\) est successivement équivalent à

• \(\mathrm e^{3×4+x} = \mathrm e^{3+(-1)}\)
• \(12+x = 2\)
• \(x = 2-12\)
• \(\boxed{x = -10}\)

\(\frac{\mathrm e^{\cdots}}{\mathrm e^{3}} = \mathrm e^{-1}\)

\(\frac{\mathrm e^{x}}{\mathrm e^{3}} = \mathrm e^{-1}\) est successivement équivalent à

• \(\mathrm e^{x-3} = \mathrm e^{-1}\)
• \(x-3 = -1\)
• \(x = -1+3\)
• \(\boxed{x = 2}\)

\(\frac{\mathrm e}{\mathrm e^{\cdots}} = \frac{\mathrm e^2}{\mathrm e^5}\)

\(\frac{\mathrm e^1}{\mathrm e^{x}} = \frac{\mathrm e^2}{\mathrm e^5}\) est successivement équivalent à

• \(\mathrm e^{1-x} = \mathrm e^{2-5}\)
• \(-x = -3-1\)
• \(x = -(-4)\)
• \(\boxed{x = 4}\)

29, 30 : Simplifier les expressions

\(x\) est un nombre réel.

\(A = \mathrm e^{-2x+1} × \mathrm e^{x+3}\)

\[ \begin{align*} A &= \mathrm e^{-2x+1} × \mathrm e^{x+3}\\ A &= \mathrm e^{(-2x+1)+(x+3)}\\ A &= \mathrm e^{-2x+1+x+3}\\ &\boxed{A = \mathrm e^{-x+4}}\\ \end{align*} \]

\(B = \mathrm e^{x+4} × (\mathrm e^{x})^2 × \mathrm e^{-2x}\)

\[ \begin{align*} B &= \mathrm e^{x+4} × (\mathrm e^{x})^2 × \mathrm e^{-2x}\\ B &= \mathrm e^{(x+4) + 2x + (-2x)}\\ &\boxed{B = \mathrm e^{x+4}}\\ \end{align*} \]

\(C = \mathrm e^{x} × \mathrm e\)

\[ \begin{align*} C &= \mathrm e^{x} × \mathrm e\\ C &= \mathrm e^{x} × \mathrm e^1\\ &\boxed{C = \mathrm e^{x+1}}\\ \end{align*} \]

\(D = \mathrm e^{x} × x\mathrm e^x\)

\[ \begin{align*} D &= \mathrm e^{x} × x\mathrm e^x\\ D &= x\mathrm e^{x+x}\\ &\boxed{D = x\mathrm e^{2x}}\\ \end{align*} \]

\(E = \frac{\mathrm e^{x} × (\mathrm e^{x})^2}{\mathrm e^{2x}}\)

\[ \begin{align*} E &= \frac{\mathrm e^{x} × (\mathrm e^{x})^2}{\mathrm e^{2x}}\\ E &= \frac{\mathrm e^{x} × \mathrm e^{2x}}{\mathrm e^{2x}}\\ &\boxed{E = \mathrm e^{x}}\\ \end{align*} \]

\(F = \frac{\mathrm e^{x+4}}{\mathrm e^{4x}}\)

\[ \begin{align*} F &= \frac{\mathrm e^{x+4}}{\mathrm e^{4x}}\\ F &= \mathrm e^{(x+4)-4x}\\ &\boxed{F = \mathrm e^{-3x+4}}\\ \end{align*} \]

\(G = \frac1{\mathrm e^{3-2x}}\)

\[ \begin{align*} G &= \frac1{\mathrm e^{3-2x}}\\ G &= \mathrm e^{-(3-2x)}\\ &\boxed{G = \mathrm e^{-3+2x}}\\ \end{align*} \]

31, 32 : Déterminer le signe des fonctions

Pour \(x\in\mathbb R\)

31.1 \(f(x) = 3\mathrm e^x\)

Pour \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^x>0\), donc \(f(x)>0\).

31.2 \(g(x) = 2\mathrm e^{-5x}\)

Pour \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^{-5x}>0\), donc \(g(x)>0\).

31.3 \(h(x) = -\sqrt{2}\mathrm e^{-3x}\)

Pour \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^{-3x}>0\), donc \(h(x)<0\).

32.1. \(f(x) = \frac{1+\mathrm e^{4x}}{x^2+2}\)

Pour \(x\in\mathbb R\),

• \(1+\mathrm e^{4x}>1\)
• \(x^2+2 \geqslant 2\),
• donc \(f(x)>0\).

32.2. \(g(x) = \frac{-9}{-2-\mathrm e^{-8x}}\)

Pour \(x\in\mathbb R\),

• \(-9<0\)
• \(-2-\mathrm e^{-8x}<-2<0\),
• donc \(g(x)>0\).

33, 34 : Dériver les fonctions

33.1. \(f(x) = 3\mathrm e^{x} -5x^2 +2\)

\(f'(x) = 3\mathrm e^{x} -5×2x +0\)

\(\boxed{f'(x) = 3\mathrm e^{x} -10x}\)

33.2. \(f(x) = x-4\mathrm e^{x} +1\)

\(f'(x) = 1-4\mathrm e^{x} +0\)

\(\boxed{f'(x) = 1-4\mathrm e^{x}}\)

33.3. \(f(x) = \mathrm e^{x} +\mathrm e^3\)

\(f'(x) = \mathrm e^{x} +0\)

\(\boxed{f'(x) = \mathrm e^{x}}\)

Bonus

\(f'(x)\) est strictement positive sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

33.4. \(f(x) = x\mathrm e^{x}\)

\(f'(x) = 1×\mathrm e^{x} +x\mathrm e^{x}\)

\(\boxed{f'(x) = (1+x)\mathrm e^{x}}\)

Bonus

\(f'(x)\) est strictement positive sur \(]-1\,;\,+\infty[\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(]-1\,;\,+\infty[\).

\(f'(x)\) est strictement négative sur \(]+\infty\,;\,-1[\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]+\infty\,;\,-1[\).

Donner également le sens de variation de \(f\)

34.1. \(f(x) = \mathrm e^{3x}\)

\(f'(x) = 3×\mathrm e^{3x}\)

\(\boxed{f'(x) = 3\mathrm e^{3x}}\)

\(f'(x)\) est strictement positive sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

34.2. \(f(x) = \mathrm e^{-2x}\)

\(f'(x) = -2×\mathrm e^{-2x}\)

\(\boxed{f'(x) = -2\mathrm e^{-2x}}\)

\(f'(x)\) est strictement négative sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).

34.3. \(f(x) = \mathrm e^{-x+4}\)

\(f'(x) = -1×\mathrm e^{-x+4}\)

\(\boxed{f'(x) = -\mathrm e^{-x+4}}\)

\(f'(x)\) est strictement négative sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).

34.4. \(f(x) = 5\mathrm e^{x+6}\)

\(f'(x) = 5×1×\mathrm e^{x+6}\)

\(\boxed{f'(x) = 5\mathrm e^{x+6}}\)

\(f'(x)\) est strictement positive sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

35, 36, 37 : Résoudre sur les réels

35.1. \(\mathrm e^{x} = \mathrm e^{-2}\)

\(\mathrm e^{x} = \mathrm e^{-2}\) est équivalent à

\[\boxed{x = -2}\]

35.2. \(\mathrm e^{x} = \mathrm e\)

\(\mathrm e^{x} = \mathrm e\) est équivalent à

\(\mathrm e^{x} = \mathrm e^1\), puis à

\[\boxed{x = 1}\]

35.3. \(\mathrm e^{x+2} = \mathrm e^3\)

\(\mathrm e^{x+2} = \mathrm e^3\) est équivalent à

\(x+2 = 3\), puis à

\[\boxed{x = 1}\]

35.4. \(\mathrm e^{2x+1} = \mathrm e\)

\(\mathrm e^{2x+1} = \mathrm e\) est équivalent à

\(2x+1 = 1\), puis à

\[\boxed{x = 0}\]

35.5. \(\mathrm e^{x} = 1\)

\(\mathrm e^x = 1\) est équivalent à

\(\mathrm e^x = \mathrm e^0\), puis à

\[\boxed{x = 0}\]

35.6. \(\mathrm e^{x} + 4= 0\)

\(\mathrm e^x + 4 = 0\) n'a aucune solution réelle, en effet \(\mathrm e^x + 4>4\)

\[\boxed{x \in \emptyset}\]

35.7. \(\mathrm e^{x^2} = \mathrm e\)

\(\mathrm e^{x^2} = \mathrm e^1\) est équivalent à

\(x^2 = 1\), puis à

\[\boxed{x \in \{-1, +1\}}\]

35.8. \(\mathrm e^{x^2+1} = 1\)

\(\mathrm e^{x^2+1} = \mathrm e^0\) est équivalent à

\(x^2 +1= 0\), qui n'a pas de solution réelle, ainsi

\[\boxed{x \in \emptyset}\]

36.1. \(\mathrm e^{-x} = 1\)

\(\mathrm e^{-x} = 1\) est successivement équivalente à

\[ \begin{align*} \mathrm e^{-x} &= \mathrm e^{0}\\ -x &= 0\\ &\boxed{x = 0}\\ \end{align*} \]

36.2. \(\mathrm e^{2x-3} = \mathrm e\)

\(\mathrm e^{2x-3} = \mathrm e^1\) est successivement équivalente à

\[ \begin{align*} 2x-3 &= 1\\ 2x &= 1+3\\ 2x &= 4\\ x &= 4/2\\ &\boxed{x = 2}\\ \end{align*} \]

36.3. \(5\mathrm e^{3x+1} = 5\)

\(5\mathrm e^{3x+1} = 5\) est successivement équivalente à

\[ \begin{align*} \mathrm e^{3x+1} &= 1\\ \mathrm e^{3x+1} &= \mathrm e^0\\ 3x+1 &= 0\\ 3x &= -1\\ &\boxed{x = \frac{-1}3}\\ \end{align*} \]

36.4. \(-2\mathrm e^{x^2} = 3\)

\(\mathrm e^{x^2}>0\), donc \(-2\mathrm e^{x^2}<0\) et ainsi

\(-2\mathrm e^{x^2}\) ne peut pas être égal à \(3\) pour \(x\) réel.

\[\boxed{x \in \emptyset}\]

37.1. \(\mathrm e^{2x} > \mathrm e^{-2}\)

\(\mathrm e^{2x} > \mathrm e^{-2}\) est successivement équivalent à

\[ \begin{align*} 2x &> -2\\ &\boxed{x > -1}\\ \end{align*} \]

37.2. \(\mathrm e^{-3x} < \mathrm e\)

\(\mathrm e^{-3x} < \mathrm e^1\) est successivement équivalent à

\[ \begin{align*} -3x &< 1\\ &\boxed{x > \frac{-1}3}\\ \end{align*} \]

37.3. \(\mathrm e^{3x-5} \geqslant \mathrm e^{-3}\)

\(\mathrm e^{3x-5} \geqslant \mathrm e^{-3}\) est successivement équivalent à

\[ \begin{align*} 3x-5 & \geqslant -3\\ 3x & \geqslant -3+5\\ 3x & \geqslant 2\\ & \boxed{x \geqslant \frac{2}3}\\ \end{align*} \]

37.4. \(\mathrm e^{-2x-1} \leqslant 1\)

\(\mathrm e^{-2x-1} \leqslant \mathrm e^{0}\) est successivement équivalent à

\[ \begin{align*} -2x-1 & \leqslant 0\\ -2x & \leqslant +1\\ & \boxed{x \geqslant \frac{1}2}\\ \end{align*} \]

Généralités

49 à 54 : Simplifier au maximum

51.1. \(a(x) = \mathrm e^{2x}×(\mathrm e^x)^2×\mathrm e^{-3x}\)

\[ \begin{align*} a(x) &= \mathrm e^{2x}×(\mathrm e^x)^2×\mathrm e^{-3x}\\ a(x) &= \mathrm e^{2x+x×2+(-3x)}\\ & \boxed{a(x) = \mathrm e^{x}}\\ \end{align*} \]

51.2. \(b(x) = \frac{\mathrm e^{x^2}}{\mathrm e^x}\)

\[ \begin{align*} b(x) &= \frac{\mathrm e^{x^2}}{\mathrm e^x}\\ b(x) &= \mathrm e^{x^2-x}\\ & \boxed{b(x) = \mathrm e^{x(x-1)}}\\ \end{align*} \]

51.3. \(c(x) = \frac{\mathrm e^{x-1}×\mathrm e^{4x}}{\mathrm e^x}\)

\[ \begin{align*} c(x) &= \frac{\mathrm e^{x-1}×\mathrm e^{4x}}{\mathrm e^x}\\ c(x) &= \mathrm e^{(x-1)+(4x)-(x)}\\ & \boxed{c(x) = \mathrm e^{4x-1}}\\ \end{align*} \]

51.4. \(d(x) = \frac{\mathrm e^{-2x}}{\mathrm e^{-3x}×\mathrm e^{x+1}}\)

\[ \begin{align*} d(x) &= \frac{\mathrm e^{-2x}}{\mathrm e^{-3x}×\mathrm e^{x+1}}\\ d(x) &= \mathrm e^{(-2x)-((-3x)+(x+1))}\\ d(x) &= \mathrm e^{-2x+3x-x-1}\\ & \boxed{d(x) = \mathrm e^{-1}}\\ \end{align*} \]

56 à 60 : Développer et réduire

Rappel : identités remarquables

Pour \(k, a, b, c, d\in\mathbb R\), on a :

\[ \begin{align*} k(a+b) &= ka && + & kb\\ k(a-b) &= ka && - & kb\\ \end{align*} \]

et

\[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\\ \]

et

\[ \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 &&+&2ab && + && b^2\\ (a-b)^2 &= a^2 &&-&2ab && + && b^2\\ (a+b)(a-b) &= a^2 && & && -&& b^2\\ \end{align*} \]

56.1. \(A = \mathrm e^4(\mathrm e^3+\mathrm e^7)\)

\[ \begin{align*} A &= \mathrm e^4(\mathrm e^3+\mathrm e^7)\\ A &= \mathrm e^4×\mathrm e^3+\mathrm e^4×\mathrm e^7\\ A &= \mathrm e^{4+3} + \mathrm e^{4+7}\\ & \boxed{A = \mathrm e^{7} + \mathrm e^{11}}\\ \end{align*} \]

56.2. \(B = (\mathrm e^{2} + \mathrm e^{6})(\mathrm e^{3} + \mathrm e)\)

\[ \begin{align*} B &= (\mathrm e^{2} + \mathrm e^{6})(\mathrm e^{3} + \mathrm e^1)\\ B &= \mathrm e^{2}×\mathrm e^{3}+\mathrm e^{2}×\mathrm e^{1}+\mathrm e^{6}×\mathrm e^{3}+\mathrm e^{6}×\mathrm e^{1}\\ B &= \mathrm e^{2+3}+\mathrm e^{2+1}+\mathrm e^{6+3}+\mathrm e^{6+1}\\ & \boxed{B = \mathrm e^{5}+\mathrm e^{3}+\mathrm e^{9}+\mathrm e^{7}}\\ \end{align*} \]

56.3. \(C = (\mathrm e^{8} - \mathrm e^{2})(\mathrm e^{6} + 1)\)

\[ \begin{align*} C &= (\mathrm e^{8} - \mathrm e^{2})(\mathrm e^{6} + 1)\\ C &= \mathrm e^{8}×\mathrm e^{6}+\mathrm e^{8}×1-\mathrm e^{2}×\mathrm e^{6}-\mathrm e^{2}×1\\ C &= \mathrm e^{8+6}+\mathrm e^{8}-\mathrm e^{2+6}-\mathrm e^{2}\\ & \boxed{C = \mathrm e^{14}-\mathrm e^{2}}\\ \end{align*} \]

56.4. \(D = (\mathrm e^{-2} + \mathrm e^{3})(\mathrm e^{-2} - \mathrm e^{8})\)

\[ \begin{align*} D &= (\mathrm e^{-2} + \mathrm e^{3})(\mathrm e^{-2} - \mathrm e^{8})\\ D &= \mathrm e^{-2}×\mathrm e^{-2} -\mathrm e^{-2}×\mathrm e^{8} +\mathrm e^{3}×\mathrm e^{-2} -\mathrm e^{3}×\mathrm e^{8}\\ D &= \mathrm e^{-2-2}-\mathrm e^{-2+8}+\mathrm e^{3-2}-\mathrm e^{3+8}\\ & \boxed{D = \mathrm e^{-4}-\mathrm e^{6}+\mathrm e -\mathrm e^{11}}\\ \end{align*} \]

57.1. \(A = (\mathrm e^3+\mathrm e^5)^2\)

\[ \begin{align*} A &= (\mathrm e^3+\mathrm e^5)^2\\ A &= (\mathrm e^3)^2+ 2\mathrm e^3×\mathrm e^5+ (\mathrm e^5)^2\\ & \boxed{A = \mathrm e^{6} + 2\mathrm e^8 + \mathrm e^{10}}\\ \end{align*} \]

57.2. \(B = (\mathrm e^{+2} - \mathrm e^{-2})^2\)

\[ \begin{align*} B &= (\mathrm e^{+2} - \mathrm e^{-2})^2\\ B &= (\mathrm e^{+2})^2 -2×\mathrm e^{+2}×\mathrm e^{-2}+ (\mathrm e^{-2})^2\\ B &= \mathrm e^{+4} -2×\mathrm e^{0} + \mathrm e^{-4}\\ & \boxed{B = \mathrm e^{+4} -2+ \mathrm e^{-4}}\\ \end{align*} \]

57.3. \(C = (\mathrm e^{+6} - \mathrm e^{-4})(\mathrm e^{+6} + \mathrm e^{-4})\)

\[ \begin{align*} C &= (\mathrm e^{+6} - \mathrm e^{-4})(\mathrm e^{+6} + \mathrm e^{-4})\\ C &= (\mathrm e^{+6})^2 - (\mathrm e^{-4})^2\\ C &= \mathrm e^{+6×2} -\mathrm e^{-4×2}\\ & \boxed{C = \mathrm e^{+12} - \mathrm e^{-8}}\\ \end{align*} \]

57.4. \(D = (2\mathrm e^{4} - 3\mathrm e^{-1})^2\)

\[ \begin{align*} D &= (2\mathrm e^{4} - 3\mathrm e^{-1})^2\\ D &= (2\mathrm e^{4})^2 -2×2\mathrm e^{4}×3\mathrm e^{-1}+ (3\mathrm e^{-1})^2\\ D &= 2^2\mathrm e^{4×2} -2×2×3×\mathrm e^{4-1} + 3^2\mathrm e^{-1×2}\\ & \boxed{D = 4\mathrm e^{8} -12\mathrm e^{3}+ 9\mathrm e^{-2}}\\ \end{align*} \]

Pour \(t\in\mathbb R\)

58.1. \(A = (\mathrm e^t - 1)(\mathrm e^t + 1)\)

\[ \begin{align*} A &= (\mathrm e^t - 1)(\mathrm e^t + 1)\\ A &= (\mathrm e^t)^2 - 1^2\\ & \boxed{A = \mathrm e^{2t} - 1}\\ \end{align*} \]

58.2. \(B = (\mathrm e^t +3)^2\)

\[ \begin{align*} B &= (\mathrm e^t +3)^2\\ B &= (\mathrm e^t)^2 +2×\mathrm e^t×3+ 3^2\\ & \boxed{B = \mathrm e^{2t} +6\mathrm e^t +9}\\ \end{align*} \]

58.3. \(C = (\mathrm e^{2t} -2)^2\)

\[ \begin{align*} C &= (\mathrm e^{2t} -2)^2\\ C &= (\mathrm e^{2t})^2 -2×\mathrm e^{2t}×2+ 2^2\\ C &= \mathrm e^{2t×2} -2×2×\mathrm e^{2t}+ 4\\ & \boxed{C = \mathrm e^{4t} -4\mathrm e^{2t} +4}\\ \end{align*} \]

Pour \(x\in\mathbb R\)

59.1. \(D = (\mathrm e^x +\mathrm e^{-2x})^2\)

\[ \begin{align*} D &= (\mathrm e^x +\mathrm e^{-2x})^2\\ D &= (\mathrm e^x)^2 +2×\mathrm e^x × \mathrm e^{-2x} +(\mathrm e^{-2x})^2\\ D &= \mathrm e^{x×2} +2×\mathrm e^{x-2x} + \mathrm e^{(-2x)×2}\\ & \boxed{D = \mathrm e^{2x} +2\mathrm e^{-x} + \mathrm e^{-4x}}\\ \end{align*} \]

59.2. \(E = (\mathrm e^{3x} -\mathrm e^{5x})^2\)

\[ \begin{align*} E &= (\mathrm e^{3x} -\mathrm e^{5x})^2\\ E &= (\mathrm e^{3x})^2 -2×\mathrm e^{3x} × \mathrm e^{5x} +(\mathrm e^{5x})^2\\ E &= \mathrm e^{3x×2} -2×\mathrm e^{3x+5x} + \mathrm e^{5x×2}\\ & \boxed{E = \mathrm e^{6x} -2\mathrm e^{8x} + \mathrm e^{10x}}\\ \end{align*} \]

59.3. \(F = (\mathrm e^{-2x} -\mathrm e^{x})(\mathrm e^{-2x} +\mathrm e^{x})\)

\[ \begin{align*} F &= (\mathrm e^{-2x} -\mathrm e^{x})(\mathrm e^{-2x} +\mathrm e^{x})\\ F &= (\mathrm e^{-2x})^2 -(\mathrm e^{x})^2\\ F &= \mathrm e^{-2x×2} - \mathrm e^{x×2}\\ & \boxed{F = \mathrm e^{-4x} - \mathrm e^{2x}}\\ \end{align*} \]

60.1. \(O(x) = (\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x})^2 + (\mathrm e^{x} -\mathrm e^{-x})^2\)

\[ \begin{align*} O(x) &= (\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x})^2 + (\mathrm e^{x} -\mathrm e^{-x})^2\\ O(x) &= ( (\mathrm e^{x})^2 +2\mathrm e^{x}\mathrm e^{-x} +(\mathrm e^{-x})^2) + ( (\mathrm e^{x})^2 -2\mathrm e^{x}\mathrm e^{-x} +(\mathrm e^{-x})^2)\\ O(x) &= ( \mathrm e^{2x} +2 +\mathrm e^{-2x}) + ( \mathrm e^{2x} -2 +\mathrm e^{-2x})\\ & \boxed{O(x) = 2(\mathrm e^{2x} + \mathrm e^{-2x})}\\ \end{align*} \]

60.2. \(P(x) = (\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x})^2 - (\mathrm e^{x} -\mathrm e^{-x})^2\)

\[ \begin{align*} P(x) &= (\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x})^2 - (\mathrm e^{x} -\mathrm e^{-x})^2\\ P(x) &= ( (\mathrm e^{x})^2 +2\mathrm e^{x}\mathrm e^{-x} +(\mathrm e^{-x})^2) - ( (\mathrm e^{x})^2 -2\mathrm e^{x}\mathrm e^{-x} +(\mathrm e^{-x})^2)\\ P(x) &= ( \mathrm e^{2x} +2 +\mathrm e^{-2x}) - ( \mathrm e^{2x} -2 +\mathrm e^{-2x})\\ & \boxed{P(x) = 4}\\ \end{align*} \]

61, 62 : Démontrer une égalité

Indices possibles

• Développer et réduire chaque membre indépendamment pour justifier l'égalité.
• Pour l'égalité entre deux quotients, on a : \(\left(\frac ab = \frac cd\right) \iff (b\neq 0, d\neq 0, ad = bc)\)

61.1. \(\frac{\mathrm e^{x}-1}{\mathrm e^{x}} = 1 - \mathrm e^{-x}\), pour \(x\in\mathbb R\)

On va développer et réduire le membre de gauche \(G\) et le membre de droite \(D\).

\[ \begin{align*} G &= \frac{\mathrm e^{x}-1}{\mathrm e^{x}}\\ G &= \frac{\mathrm e^{x}}{\mathrm e^{x}} -\frac{1}{\mathrm e^{x}}\\ G &= 1 - \mathrm e^{-x}\\ &\text{puis}\\ D &= 1 - \mathrm e^{-x}\\ &\text{ainsi}\\ &\boxed{G=D} \end{align*} \]

Erreur d'énoncé dans le livre

L'égalité du 61.2 est valable pour \(x\in\mathbb R^*\)

Sinon, on aurait \(\frac12 = \frac00\) qui est fausse !

61.2. \(\frac{1}{\mathrm e^{x}+1} = \frac{\mathrm e^{x}-1}{\mathrm e^{2x}-1}\), pour \(x\in\mathbb R^*\)

On regarde l'égalité des produits en croix \(A\) et \(B\), et on vérifie avant les dénominateurs !

• Pour \(x\in\mathbb R^*, \mathrm e^{x}+1 \neq 0\)
• Pour \(x\in\mathbb R^*, \mathrm e^{2x}-1 \neq 0\) ; ici \(x\neq 0\) est essentiel !!!

\[ \begin{align*} A &= 1×(\mathrm e^{x}+1)\\ A &= \mathrm e^{x}+1\\ B &= (\mathrm e^{x}+1)(\mathrm e^{x}-1)\\ &\text{puis}\\ B &= (\mathrm e^{x})^2 - 1^1\\ B &= \mathrm e^{2x} - 1\\ &\text{ainsi}\\ &\boxed{A=B} \end{align*} \]

62. \((\mathrm e^{x}+\mathrm e^{-x})(\mathrm e^{2x})^2 = \mathrm e^{3x}(\mathrm e^{2x}+1)\), pour \(x\in\mathbb R\)

On va développer et réduire le membre de gauche \(G\) et le membre de droite \(D\).

\[ \begin{align*} G &= (\mathrm e^{x}+\mathrm e^{-x})(\mathrm e^{2x})^2\\ G &= (\mathrm e^{x}+\mathrm e^{-x})×\mathrm e^{4x}\\ G &= \mathrm e^{x}×\mathrm e^{4x}+\mathrm e^{-x}×\mathrm e^{4x}\\ G &= \mathrm e^{x+4x}+\mathrm e^{-x+4x}\\ G &= \mathrm e^{5x}+\mathrm e^{3x}\\ &\text{puis}\\ D &= \mathrm e^{3x}(\mathrm e^{2x}+1)\\ D &= \mathrm e^{3x}×\mathrm e^{2x}+\mathrm e^{3x}×1\\ D &= \mathrm e^{3x+2x}+\mathrm e^{3x}\\ D &= \mathrm e^{5x}+\mathrm e^{3x}\\ &\text{ainsi}\\ &\boxed{G=D} \end{align*} \]

63 : Factoriser les expressions

Soit \(x\in\mathbb R\)

\(A = \mathrm e^{4x} + \mathrm e^{x}\)

\[ \begin{align*} A &= \mathrm e^{4x} + \mathrm e^{x}\\ A &= \mathrm e^{x}×\mathrm e^{3x} + \mathrm e^{x}×1\\ & \boxed{A = \mathrm e^{x}(\mathrm e^{3x} + 1)}\\ \end{align*} \]