Étude de la fonction⚓︎
Signe⚓︎
Signe de l'exponentielle
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^x>0\)
Nouvelle démonstration
On a déjà proposé une démonstration, en voici une nouvelle.
Soit \(x\in\mathbb R\), on a
On rappelle que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur \(\mathbb R\).
Exemples indépendants
- L'équation \(\mathrm e^x = -5\) n'admet aucune solution réelle.
- \(\mathrm e^{-7} > 0\)
- Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^{-x}>0\)
- Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(-\mathrm e^{3x-4}<0\)
Variation⚓︎
Propriété
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Autrement dit : si \(x, y \in\mathbb R\) avec \(x < y\), alors \(\mathrm e^x < \mathrm e^y\).
Preuve
\(\mathrm {exp}'=\mathrm {exp}\), or la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\), on en déduit qu'elle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Propriété
Pour tous réels fixés \(k, m, p\), on peut définir \(f\) sur \(\mathbb R\), avec \(f(x) = k×\mathrm e^{mx+p}\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et on a \(f'=mf\).
Preuve
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) comme composée d'une fonction dérivable sur \(\mathbb R\) et d'une fonction affine.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(f'(x) = k×m×\mathrm e^{mx+p} = m×f(x)\)
Exemple
On pose \(h(x) = -3\mathrm e^{5x+7}\).
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et on a
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(h'(x) = -3×5×\mathrm e^{5x+7} < 0\)
On déduit que \(h\) est décroissante sur \(\mathbb R\).
Courbe représentative⚓︎
On constate que la courbe représentative est située au-dessus de la tangente au point d'abscisse \(0\).
Quelques valeurs⚓︎
| \(x\) | \(\mathrm e^x\) |
|---|---|
| \(-100\) | \(3.72007\cdots×10^{-44}\) |
| \(-10\) | \(4.5399929\cdots×10^{-5}\) |
| \(-1\) | \(0.367879\cdots\) |
| \(0\) | \(1\) |
| \(+1\) | \(2.71828\cdots\) |
| \(+10\) | \(22~026.46579\cdots\) |
| \(+100\) | \(2.6881\cdots×10^{43}\) |
Pour une calculatrice classique
- \(\mathrm e^{100}\) provoque une erreur de dépassement de capacité
- \(\mathrm e^{-100}\) provoque un arrondi à zéro, ce qui est faux en théorie.
Résolution d'(in)équations⚓︎
Propriétés
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) :
- \(\mathrm e^a = \mathrm e^b\) équivaut à \(a = b\)
- \(\mathrm e^a < \mathrm e^b\) équivaut à \(a < b\)
- \(\mathrm e^a > \mathrm e^b\) équivaut à \(a > b\)
La preuve vient du fait que la fonction exponentielle est strictement croissante.
Exemples de résolution
1. Résoudre \(\mathrm e^{2x} = \frac 1e\) sur \(\mathbb R\)
Sur \(\mathbb R\), \(\mathrm e^{2x} = \frac 1e\) équivaut successivement à
- \(\mathrm e^{2x} = \mathrm e^{-1}\)
- \(2x = -1\)
- \(\boxed{x = \frac{-1}2}\)
2. Résoudre \(\mathrm e^{-3x+4} + 1 \geqslant 2\) sur \(\mathbb R\)
Sur \(\mathbb R\), \(\mathrm e^{-3x+4} + 1 \geqslant 2\) équivaut successivement à
- \(\mathrm e^{-3x+4} \geqslant 1\) ; on a enlevé \(1\) dans chaque membre
- \(\mathrm e^{-3x+4} \geqslant \mathrm e^0\) ; on a remplacé \(1\) par \(\mathrm e^0\)
- \(-3x+4 \geqslant 0\) ; on a utilisé la propriété ci-dessus
- \(-3x \geqslant -4\) ; on a enlevé \(4\) dans chaque membre
- \(x \leqslant \frac{-4}{-3}\) ; on doit changer le sens de l'inégalité en divisant tout par un nombre négatif
- \(\boxed{x \leqslant \frac{4}{3}}\) ; résultat simplifié.