Exercices
Il y a aussi des exercices corrigés à la page des formules.
Exercices élémentaires
28 p 119 (produit ou inverse de fonctions usuelles)
Dériver les fonctions suivantes telles que
1. \(f(x) = \dfrac1x (x^3-1)\) sur \(\mathbb R^*\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= \dfrac1x & u'(x) &= \dfrac{-1}{x^2}\\
v(x) &= x^3 -1 & v'(x) &= 3x^2 + 0\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= (u(x)×v(x))'\\
f'(x) &= u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)\\
f'(x) &= \dfrac{-1}{x^2}×(x^3-1) + \dfrac{1}{x}×(3x^2)\\
f'(x) &= \dfrac{-1}{x^2}×(x^3-1) + \dfrac{1}{x^2}×(3x^3)\\
f'(x) &= \dfrac{-x^3 + 1 + 3x^3}{x^2}\\
f'(x) &= \dfrac{2x^3 + 1}{x^2}\\
\end{align*}\]
2. \(f(x) = x^2(\sqrt x + 1)\) sur \([0\,;\,+\infty[\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x^2 & u'(x) &= 2x\\
v(x) &= \sqrt x + 1 & v'(x) &= \dfrac1{2×\sqrt x} + 0\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= (u(x)×v(x))'\\
f'(x) &= u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)\\
f'(x) &= 2x × (\sqrt x + 1) + x^2 × \dfrac1{2×\sqrt x}\\
f'(x) &= 2x × (\sqrt x + 1) + \dfrac12 ×x×\sqrt x\\
f'(x) &= \dfrac52 x \sqrt x + 2x\\
\end{align*}\]
3. \(f(x) = \dfrac1{x^2+1}\) sur \(\mathbb R\)
On pose \(v(x) = x^2 + 1\), on a \(v'(x) = 2x + 0\)
On déduit :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac1{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\\
\end{align*}\]
4. \(f(x) = \dfrac1{\sqrt x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)
On pose \(v(x) = \sqrt x\), on a \(v'(x) = \dfrac1{2\sqrt x}\)
On déduit :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac1{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{-\dfrac1{2\sqrt x}}{(\sqrt x)^2} \text{ , avec $x$ positif}\\
f'(x) &= \dfrac1{-2\sqrt x}×\dfrac{1}{x}\\
f'(x) &= \dfrac1{-2x\sqrt x}\\
\end{align*}\]
29 p 119 (produit ou quotient de fonctions usuelles)
1. \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\) sur \(\mathbb R\setminus \{2\}\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x+1 & u'(x) &= 1\\
v(x) &= x-2 & v'(x) &= 1\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{1×(x-2) - (x+1)×1}{(x-2)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{-3}{(x-2)^2}\\
\end{align*}\]
2. \(f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2-1}\) sur \(\mathbb R\setminus \{-1\,;\,+1\}\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x^3+1 & u'(x) &= 3x^2\\
v(x) &= x^2-1 & v'(x) &= 2x\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{(3x^2)×(x^2-1) - (x^3+1)×(2x)}{(x^2-1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4 -2x}{(x^2-1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{x^4 - 3x^2 -2x}{(x^2-1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{x(x^3 - 3x -2)}{(x^2-1)^2}\\
\end{align*}\]
\(-1\) est une racine évidente de \(x^3-3x-2\), on peut alors le factoriser par \((x+1)\), on a alors un polynôme du second degré. Ce qui permet ensuite d'étudier le signe de \(f'(x)\), ce qui permet ensuite d'étudier le sens de variation de \(f\).
Rappel : on aime les expressions factorisées, on ne les développe que lorsqu'on est obligé !
3. \(f(x) = \dfrac{\sqrt x}{x-1}\) sur \(]1\,;\,+\infty[\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= \sqrt x & u'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\
v(x) &= x - 1 & v'(x) &= 1\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{\dfrac1{2\sqrt x}×(x-1) - \sqrt x×1}{(x-1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{\dfrac{x-1 - 2\sqrt x×\sqrt x}{2\sqrt x}}{(x-1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{-(x+1)}{(x-1)^2×2\sqrt x}\\
\end{align*}\]
4. \(f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{\sqrt x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)
il y avait une erreur d'énoncé. \(0\) est exclu.
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x^2+x+1 & u'(x) &= 2x+1\\
v(x) &= \sqrt x & v'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{(2x+1)×\sqrt x - (x^2+x+1)×\dfrac1{2\sqrt x}}{(\sqrt x)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{(2x+1)×2x - (x^2+x+1)}{2x\sqrt x}\\
f'(x) &= \dfrac{x^2+x-1}{2x\sqrt x}\\
\end{align*}\]
Entrainement
80 p 126 (Deux méthodes pour dériver)
Pour chaque fonction : calculer sa dérivée directement, puis recommencer en développant d'abord l'expression.
1. \(f(x) = (2x+3)(1-4x)\) sur \(\mathbb R\)
On a d'une part
\[\begin{align*}
f'(x) &= 2(1-4x) + (2x+3)×(-4)\\
f'(x) &= 2-8x + -8x-12\\
f'(x) &= -16x -10\\
\end{align*}\]
D'autre part
\[\begin{align*}
f(x) &= (2x+3)(1-4x)\\
f(x) &= 2x + 3 -8x^2 -12x\\
f(x) &= -8x^2 -10x + 3\\
\end{align*}\]
On déduit \(f'(x) = -16x -10\) ; évidemment, on retrouve le même résultat.
Les deux techniques sont possibles.
2. \(g(x) = (x^2-1)(x^3+x)\) sur \(\mathbb R\)
On a d'une part
\[\begin{align*}
g'(x) &= 2x(x^3+x) + (x^2-1)×(3x^2 + 1)\\
g'(x) &= (2x^4+2x^2) + (3x^4-3x^2 + x^2-1)\\
g'(x) &= 5x^4-1\\
\end{align*}\]
D'autre part
\[\begin{align*}
g(x) &= (x^2-1)(x^3+x)\\
g(x) &= x^5+x^3 + -x^3-x\\
g(x) &= x^5-x\\
\end{align*}\]
On déduit \(g'(x) = 5x^4 -1\) ; évidemment, on retrouve le même résultat.
Les deux techniques sont possibles.
Ex 82 p 126
1. Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{4}{2x-3}\) sur \(\mathbb R \setminus\left\{\frac32\right\}\)
Il suffit de mettre le \(4\) en facteur et d'utiliser l'inverse de \(2x-3\).
On pose \(v(x) = 2x-3\), donc \(v'(x) = 2\) et on a
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(4×\dfrac{1}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= 4×\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= 4×\dfrac{-2}{(2x-3)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{-8}{(2x-3)^2}\\
\end{align*}\]
2. Calculer la dérivée de \(g(x) = \dfrac{2}{1-4x}\) sur \(\mathbb R \setminus\left\{\frac14\right\}\)
Il suffit de mettre le \(2\) en facteur et d'utiliser l'inverse de \(1-4x\).
On pose \(v(x) = 1-4x\), donc \(v'(x) = -4\) et on a
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(2×\dfrac{1}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= 2×\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= 2×\dfrac{+4}{(1-4x)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{8}{(1-4x)^2}\\
\end{align*}\]
Ex 83 p 126
1. Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{-2}{x^2+x+1}\) sur \(\mathbb R\)
Justifions d'abord que la fonction est bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
\(f\) est un quotient de fonctions dérivables sur \(\mathbb R\),
\(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\) privé des points où le dénominateur s'annule.
Le dénominateur est un polynôme du second degré dont le discriminant est \(1^1-4×1×1=-3 < 0\),
de sorte que le dénominateur ne s'annule pas ! Il n'y a donc aucun point à enlever.
Pour dériver \(f\), il suffit de mettre le \(-2\) en facteur et d'utiliser l'inverse de \(x^2+x+1\).
On pose \(v(x) = x^2+x+1\), donc \(v'(x) = 2x+1\)
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(-2×\dfrac{1}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= -2×\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= -2×\dfrac{-(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\\
\end{align*}\]
2. Calculer la dérivée de \(g(x) = \dfrac{3}{x^4+1}\) sur \(\mathbb R\)
Justifions d'abord que la fonction est bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
\(g\) est un quotient de fonctions dérivables sur \(\mathbb R\),
\(g\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\) privé des points où le dénominateur s'annule.
Le dénominateur est un polynôme de degré 4, avec \(x^4\geqslant 0\), on a \(x^4+1>0\),
de sorte que le dénominateur ne s'annule pas !
Il n'y a donc aucun point à enlever.
Pour dériver \(g\), il suffit de mettre le \(3\) en facteur et d'utiliser l'inverse de \(x^4+1\).
On pose \(v(x) = x^4+1\), donc \(v'(x) = 4x^3\)
\[\begin{align*}
g'(x) &= \left(3×\dfrac{1}{v(x)}\right)'\\
g'(x) &= 3×\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
g'(x) &= 3×\dfrac{-(4x^3)}{(x^4+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{-12x^3}{(x^4+1)^2}\\
\end{align*}\]
85 p 126
1. \(f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+x+1}\) sur \(\mathbb R\)
Le dénominateur est un polynôme du second degré qui a
un discriminant strictement négatif, donc le dénominateur
ne s'annule pas sur les réels, ainsi la fonction est
dérivable sur \(\mathbb R\).
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x-1 & u'(x) &= 1\\
v(x) &= x^2+x+1 & v'(x) &= 2x+1\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{1×(x^2+x+1) - (x-1)×(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{(x^2+x+1)- (2x^2-2x+x-1)}{(x^2+x+1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{-x^2 -3x + 2}{(x^2+x+1)^2}\\
\end{align*}\]
2. \(g(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\) sur \(\mathbb R\)
Le dénominateur est un polynôme du second degré qui a
un discriminant strictement négatif, donc le dénominateur
ne s'annule pas sur les réels, ainsi la fonction est
dérivable sur \(\mathbb R\).
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= x^2+x+1 & u'(x) &= 2x+1\\
v(x) &= x^2+1 & v'(x) &= 2x\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
g'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
g'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
g'(x) &= \dfrac{(2x+1)×(x^2+1) - (x^2+x+1)×(2x)}{(x^2+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{(2x^3+2x+x^2+1) - (2x^3+2x^2+2x)}{(x^2+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{(1+x)(1-x)}{(x^2+1)^2}\\
\end{align*}\]
86 p 126
1. \(f(x) = \dfrac{\sqrt x}{x+1}\) sur \(\mathbb R_{+}^{*}\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= \sqrt x & u'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\
v(x) &= x+1 & v'(x) &= 1\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
f'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
f'(x) &= \dfrac{\dfrac1{2\sqrt x}×(x+1) - \sqrt x×1}{(x+1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{x+1 - 2\sqrt x × \sqrt x}{2\sqrt x(x+1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{x+1 - 2x}{2\sqrt x(x+1)^2}\\
f'(x) &= \dfrac{1 - x}{2\sqrt x(x+1)^2}\\
\end{align*}\]
2. \(g(x) = \dfrac{\sqrt x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb R_{+}^{*}\)
On pose
\[\begin{align*}
u(x) &= \sqrt x & u'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\
v(x) &= x^2+1 & v'(x) &= 2x\\
\end{align*}\]
On a :
\[\begin{align*}
g'(x) &= \left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'\\
g'(x) &= \dfrac{u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)}{v^2(x)}\\
g'(x) &= \dfrac{\dfrac1{2\sqrt x}×(x^2+1) - \sqrt x×2x}{(x^2+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{x^2+1 - 2\sqrt x × \sqrt x×2x}{2\sqrt x(x^2+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{x^2+1 - 4x^2}{2\sqrt x(x+1)^2}\\
g'(x) &= \dfrac{1 - 3x^2}{2\sqrt x(x+1)^2}\\
\end{align*}\]
On pourrait factoriser le numérateur, de sorte à pouvoir étudier
le signe de \(g'(x)\) ce qui permet de conclure sur
le sens de variation de \(g\).
87 p 126 (Python)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = ax^2+bx+c\), avec \(a, b, c\) qui sont réels et \(a\neq 0\).
Donner une expression de \(f'(x)\)
Réponse
\(f'(x) = 2ax + b\)
Compléter le code Python
🐍 Script Pythona, b, c = 5, 7, 11 # par exemple
def f(x):
"Renvoie ax² + bx + c"
return a * x**2 + b * x + c
def f_prime(x):
"Renvoie f'(x)"
return ... # ← À compléter
Réponse
On a le code
🐍 Script Pythondef f_prime(x):
"Renvoie f'(x)"
return 2 * a * x + b