Preuve des formules⚓︎
Cette page n'intéressera que les élèves motivés.
Preuve
Ici les preuves sont simplifiées pour être digestes pour les élèves de première. En post-BAC vous verrez des preuves plus rigoureuses, où l'on précise ce qu'est « être proche », et ce que signifie réellement \(f(x)\approx ...\)
Les preuves ne sont pas très simples. Les exemples le sont.
Construction par étapes⚓︎
Approximation par une fonction affine⚓︎
Si \(f\) est dérivable en \(a\), et \(x\) proche de \(a\), on a \(f(x) \approx f(a) + f'(a)×(x-a)\).
Réciproquement, si pour \(x\) proche de \(a\), on a \(f(x) \approx p + m×(x-a)\), alors
- \(f(a) = p\)
- \(f'(a) = m\)
On va se servir souvent de cette propriété dans les preuves.
Exemple
Si pour \(x\) proche de \(5\), on a \(f(x) \approx 19 - 7×(x-5)\), alors
- \(f(5) = 19\)
- \(f'(5) = -7\)
Fonction constante⚓︎
Si \(f\) est une fonction constante sur un intervalle, alors sa fonction dérivée \(f'\) est nulle dans l'intervalle ouvert.
Preuve
En effet, toute tangente serait horizontale, donc de coefficient directeur nul.
Exemple 1
Si \(f(x) = \dfrac{\pi}4\) pour tout \(x\in\mathbb R\), alors \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Exemple 2
Si \(f(x) = 1\) pour tout \(x\in [5 ; 9]\), alors \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in\; ]5 ; 9 [\).
Fonction affine⚓︎
Si \(f(x) = mx+p\) sur \(\mathbb R\), alors \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f'(x) = m\).
preuve
En effet, la courbe représentant \(f\) est confondue avec la tangente ; elles sont identiques, de coefficient directeur \(m\).
Exemple 1
Si \(f(x) = 6x - 9\) pour \(x\in \mathbb R\), alors \(f'(x) = 6\) pour \(x\in \mathbb R\).
Exemple 2
Si \(f(x) = x\) pour \(x\in \mathbb R\), alors \(f'(x) = 1\) pour \(x\in \mathbb R\).
Produit avec une constante⚓︎
Si \(f\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), et que \(k\) est une constante, alors \((kf)'=kf'\).
Preuve
Si \(a\in I\) et \(x\) proche de \(a\), on a \(f(x) \approx f(a) + f'(a)×(x-a)\),
on tire \(kf(x) \approx kf(a) + kf'(a)×(x-a)\), d'où le résultat.
On peut aussi écrire \((kf(x))' = kf'(x)\) pour \(x\in I\)
Exemple 1
Si \(f'(x) = 3x^2 - x\) pour \(x\in \mathbb R\),
alors \((5(3x^2 - x))' = (5f)'(x) =5f'(x) = 15x^2 - 5x\) pour \(x\in \mathbb R\).
En effet \(5\) est une constante.
Exemple 2
Si \(f'(x) = g(x)\) pour \(x\in \mathbb R\),
alors \((-3f)'(x) =-3f'(x) = -3g(x)\) pour \(x\in \mathbb R\).
En effet \(-3\) est une constante.
Exemple 3
Si \(f'(x) = h(x)\) pour \(x\in I\),
alors \((\pi f)'(x) =\pi f'(x) = \pi h(x)\) pour \(x\in I\).
En effet \(\pi\) est une constante.
Monôme de degré n⚓︎
- Pour \(n\in \mathbb N^*\), \(f: x\mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et on a \((x^n)' = nx^{n-1}\)
- Pour \(n=0\), \(f: x\mapsto x^n = 1\) est constante sur \(\mathbb R\), donc dérivable sur \(\mathbb R\) et on a \((x^0)' = 0\)
Exemple 1
\((x^{13})' = 13x^{12}\) sur \(\mathbb R\).
Exemple 2
\(x' = (x^1)' = 1x^0 = 1\) sur \(\mathbb R\).
Exemple 3
\((5x^3)' = 5(x^3)' = 5×3x^2 = 15x^2\) sur \(\mathbb R\).
Preuve
La preuve n'est pas au programme en première pour \(n>2\).
Mais nous la présentons plus bas.
Somme de fonctions⚓︎
Si \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(I\), alors \(f+g\) est dérivable sur \(I\).
Preuve
Pour \(a\in I\) et \(x\) proche de \(a\), on a
On déduit
D'où \((f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)\), ceci étant valable pour tout \(a\in I\)
On peut aussi écrire \((f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\), pour tout \(x\in I\).
On écrit aussi plus simplement \((f+g)' = f'+g'\)
Exemple 1 : avec \(f(x) = 5x^3 + 7x^2 -3x +8\)
pour \(x\in \mathbb R\).
Exemple 2 : avec \(g(x) = 7x^4 - 3x^3 + 6x^2 -5x +9\)
pour \(x\in \mathbb R\).
On peut aller plus rapidement dès qu'on a bien compris.
Produit de fonctions⚓︎
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(I\), alors
- \(u×v\) est dérivable sur \(I\),
- \((u×v)' = u'×v + u×v'\)
Exemple
Pour \(x\in \mathbb R\), avec
On déduit
que l'on pourrait ensuite réduire...
Exercices⚓︎
Fonction racine carrée⚓︎
On suppose que \(x\mapsto u(x) = \sqrt{x}\) est dérivable sur \(I\),
On sait que \(u(x)×u(x) = x\) sur \(\mathbb R_+\)
D'une part
D'autre part
et donc \(2u'(x)×u(x) = 1\), d'où on tire \(u'(x) = \dfrac1{2u(x)}\)
Conclusion
Fonction inverse⚓︎
On suppose que \(x\mapsto u(x) = \dfrac1x\) est dérivable sur \(I\),
- \((u(x)×x) = 1\) sur \(\mathbb R^*\), donc
- \(\left(\dfrac1x × x\right)' = u'(x)×x + u(x)×(x)'\)
- \((1)' = u'(x)×x + \dfrac1x × 1\), d'où
- \(0 = u'(x)×x + \dfrac1x\) et enfin
- \(u'(x) = \dfrac{-1}{x^2}\) sur \(\mathbb R^*\)
Conclusion
Fonction \(x\mapsto \dfrac1{x^n}\)⚓︎
Avec \(n\in\mathbb N^*\).
On suppose que \(x\mapsto u(x) = \dfrac1{x^n}\) est dérivable sur \(I=\mathbb R^*\),
- On pose \(v(x) = x^n\), et on a \(v'(x) = nx^{n-1}\) sur \(\mathbb R\)
- \((u(x)×v(x)) = 1\) sur \(\mathbb R^*\), donc
- \((u(x)×u(x))' = u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)\)
- \((1)' = u'(x)×x^n + \dfrac1{x^n} × n×x^{n-1}\), d'où (en simplifiant par \(x^{n-1}\))
- \(0 = u'(x)×x + \dfrac{n}{x^n}\) et enfin
- \(u'(x) = \dfrac{-n}{x^{n+1}}\) sur \(\mathbb R^*\)
Conclusion
Remarques pour l'avenir
- La dernière s'écrit aussi \((x^{-n})' = -nx^{-n-1}\)
- Si on note \(\sqrt{x} = x^{\frac12}\) et \(\dfrac1{\sqrt x} = x^{-\frac12}\), alors \(\left(\sqrt{x}\right)' = (x^{\frac12})' = \frac12x^{\frac12 - 1} = \dfrac1{2\sqrt x}\)
- Plus tard vous verrez que \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1}\) pour \(\alpha \in \mathbb R^*\), ce qui signifie qu'il n'y a qu'une seule formule à retenir.
Inverse d'une fonction⚓︎
On suppose que \(u\) est dérivable sur \(I\) et ne s'y annule pas.
On pose \(v(x) = \dfrac1{u(x)}\) ; Objectif déterminer \(v'(x)\). (On sait que \(v(x)\) est bien définie)
On pose \(f(x) = u(x) × v(x) = 1\), donc la dérivée de \(f\) est nulle.
- \(f'(x) = u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)\)
- \((1)' = u'(x)×\dfrac1{u(x)} + u(x)×v'(x)\)
- \(0 = \dfrac{u'(x)}{u(x)^2} + v'(x)\) ; on a tout divisé par \(u(x)\) qui est non nul.
- \(v'(x) = \dfrac{-u'(x)}{u(x)^2}\)
Conclusion
Exemple
\(f(x) = \dfrac1{3x^2+1}\), avec \(u(x) = 3x^2+1\), \(u'(x) = 6x\).
\(f'(x) = \dfrac{-6x}{(3x^2+1)^2}\) ; définie sur \(\mathbb R\)
Quotient de fonctions⚓︎
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(I\), alors
- \(\dfrac{u}{v}\) est dérivable sur \(I\) privé des points où \(v\) s'annule,
- \(\left(\dfrac u v\right)' = \dfrac{u'×v - u×v'}{v^2}\)
Exemple
Pour \(x\in \mathbb R\), et avec
Ici \(v\) ne s'annule jamais, on déduit
que l'on pourrait ensuite réduire...
Preuve de \((x^n)' = nx^{n-1}\)⚓︎
On a démontré la formule pour \(n=1\) et \(n=2\).
On pourrait la démontrer pour \(n=3\), puis \(n=4\), puis... et ça prendrait du temps. L'infini, c'est long, surtout vers la fin...
Cas n = 3
Sur \(\mathbb R\), on a :
- \((x^3)' = (x^2 × x)'\)
- \((x^3)' = (x^2)' × x + (x^2)×(x)'\)
- \((x^3)' = 2x × x + (x^2)×1\)
- \((x^3)' = 2x^2 + x^2\)
- \((x^3)' = 3x^2\)
Cas n = 4
Sur \(\mathbb R\), on a :
- \((x^4)' = (x^3 × x)'\)
- \((x^4)' = (x^3)' × x + (x^3)×(x)'\)
- \((x^4)' = 3x^2 × x + (x^3)×1\)
- \((x^4)' = 3x^3 + x^3\)
- \((x^4)' = 4x^3\)
On pourrait continuer longtemps...
On suppose qu'on a réussi à démontrer la formule pour une certaine valeur de \(n>1\). Mais elle n'est pas encore démontrée pour \(n+1\) ; faisons-le ! On espère trouver \((x^{n+1})' = (n+1)x^{n+1-1} = (n+1)x^n\) ; c'est notre objectif.
On sait, par hypothèse, que \((x^n)' = nx^{n-1}\)
On pose
On pose \(f(x) = u(x) × v(x) = x^{n+1}\) ; Objectif : trouver \(f'\).
Résumé :
- On sait que la formule est vraie pour \(n=1\) ; c'est facile.
- On sait que si elle est vraie pour \(n\in\mathbb N^*\), alors elle est aussi vraie pour \(n+1\)
On déduit par récurrence que le formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb N^*\).
Démonstration par récurrence
De 1, on passe automatiquement à 2, puis 3, puis 4, ... puis autant qu'on veut. C'est démontré sans limite ! Cette méthode de démonstration est très utilisée. On parle de démonstration par récurrence.
Composée d'affine⚓︎
Montrons d'abord ce qu'est une composée d'affine, sur des exemples.
Exemple 1
\(x\mapsto (11x-3)^{13}\) est la composée de \(x\mapsto 11x-3\) par \(t\mapsto t^{13}\).
Ici \(f(x)=(11x-3)^{13}\) et \(g(t) = t^{13}\),
\(f\) est définie sur \(\mathbb R\)
Exemple 2
\(x\mapsto \sqrt{5x+8}\) est la composée de \(x\mapsto 5x+8\) par \(t\mapsto \sqrt t\).
Ici \(f(x)=\sqrt{5x+8}\) et \(g(t) = \sqrt t\),
\(f\) est définie pour \(5x+8 \geqslant 0\)
En général
\(x\mapsto g(mx+p)\) est la composée de \(x\mapsto mx+p\), par \(g\).
\(f\) est définie pour \(mx+p \in \mathcal D_g\)
Dérivation
On note \(f(x) = g(mx+p)\) sur \(\mathcal D_f\),
si \(g\) est dérivable en \(mx+p\), on a
Exemple 1
\(f(x)=(11x-3)^{13}\) avec \(g(t) = t^{13}\), \(g'(t) = 13t^{12}\)
\(f'(x) = 11×\left(13(11x-3)^{12}\right)\) d'où
\(f'(x) = 143×(11x-3)^{12}\) sur \(\mathbb R\)
Exemple 2
\(f(x)=\sqrt{5x+8}\) avec \(g(t) = \sqrt t\), \(g'(t) = \dfrac1{2\sqrt t}\)
\(f'(x) = 5×\left(\dfrac1{2\sqrt {5x+8}}\right)\)
\(f'\) est définie pour \(5x+8 > 0\)
Preuve de la formule
Totalement hors programme.
On suppose \(g\) dérivable en \(b=ma+p\).
Pour \(t=mx+p\), si \(x\) est proche de \(a\), alors \(t\) est proche de \(b\).
On déduit \(f'(a) = m×g'(ma+p)\), valable pour tout \(a\) tel que \(g\) est dérivable en \(ma+p\).
On peut le réécrire \(f'(x) = m×g'(mx+p)\), valable pour tout \(x\) tel que \(g\) est dérivable en \(mx+p\).