Fonction dérivée

Formules en résumé

Le résumé est à relire souvent et à connaitre par cœur

Fonctions usuelles

• \(m, p \in\mathbb R\) désignent des constantes.
• \(n\in\mathbb N^*\) désigne une constante.

Intervalle pour \(f\)	Fonction \(f\) définie par	Intervalle pour \(f'\)	Dérivée \(f'\) définie par
\(\mathbb R\)	\(f(x) = p\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = 0\)
\(\mathbb R\)	\(f(x) = mx + p\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = m\)
\(\mathbb R\)	\(f(x) = x^n\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = nx^{n-1}\)
\(\mathbb R^*\)	\(f(x) = \dfrac 1 {x^n}\)	\(\mathbb R^*\)	\(f'(x) = \dfrac {-n} {x^{n+1}}\)
\(\mathbb R_+\)	\(f(x) = \sqrt{x}\)	\(\mathbb R_{+}^{*}\)	\(f'(x) = \dfrac 1{2\sqrt x}\)

Opérations

• \(k, m, p\) sont des constantes réelles,
• \(u, v\) sont des fonctions dérivables

Opération	Fonction à dériver	Fonction dérivée
Produit constant	\(k×u\)	\((k×u)' = k×u'\)
Somme	\(u+v\)	\((u+v)' = u'+v'\)
Produit	\(u×v\)	\((u×v)' = u'×v + u×v'\)
Inverse	\(\dfrac 1 v\)	\(\left(\dfrac 1 v\right)' = \dfrac{-v'} {v^2}\)
Quotient	\(\dfrac u v\)	\(\left(\dfrac u v\right)' = \dfrac{u'×v -u×v'}{v^2}\)
Composée d'affine	\(f(x) = g(mx+p)\)	\(f'(x) = m×g'(mx+p)\)

Fonctions classiques

Intervalle pour \(f\)	Fonction \(f\) définie par	Intervalle pour \(f'\)	Dérivée \(f'\) définie par
\(\mathbb R\)	\(f(x) = \exp(x)\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = \exp(x)\)
\(\mathbb R\)	\(f(x) = \sin(x)\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = \cos(x)\)
\(\mathbb R\)	\(f(x) = \cos(x)\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = -\sin(x)\)
\(\mathbb R\setminus \{\frac{\pi}2 +k\pi, k\in\mathbb Z\}\)	\(f(x) = \tan(x)\)	\(\mathbb R\)	\(f'(x) = 1+\tan^2(x)\)

Exercices simples

Fonction constante

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = 2023\) sur \(\mathbb R\)

Comme pour toute fonction constante, on a \(f'(x) = 0\)

Fonction affine

Calculer \(g'(x)\) pour \(g(x) = 5x-2\) sur \(\mathbb R\)

\(g\) est affine donc \(g'\) est constante. On a \(g'(x) = 5\)

Monôme de degré \(n\)

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = x^4\) sur \(\mathbb R\)

On a \(f'(x) = 4x^3\).

Calculer \(g'(x)\) pour \(g(x) = 7x^4\) sur \(\mathbb R\)

On a \(g'(x) = 7×4x^3 = 28x^3\)

Polynômes

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = 5x^2 -3x + 1\) sur \(\mathbb R\)

On a \(f'(x) = 10x -3\)

Calculer \(g'(x)\) pour \(g(x) = x^3 +4x^2 +7x -6\) sur \(\mathbb R\)

On a \(f'(x) = 3x^2 +8x +7\)

Produit de polynômes

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = (5x-1)(x+3)\) sur \(\mathbb R\)

On pose

\[\begin{align*} u(x) &= 5x-1 & u'(x) &= 5\\ v(x) &= x+3 & v'(x) &= 1\\ \end{align*}\]

On a donc

\[\begin{align*} f'(x) &= (u(x)×v(x))'\\ f'(x) &= u'(x)×v(x) + u(x)×v'(x)\\ f'(x) &= 5(x+3) + (5x-1)×1\\ f'(x) &= 10x + 14\\ \end{align*}\]

Calculer \(g'(x)\) pour \(g(x) = (x^2-x+2)(2x^3-4)\) sur \(\mathbb R\)

On pose

\[\begin{align*} u(x) &= x^2-x+2 & u'(x) &= 2x-1\\ v(x) &= 2x^3-4 & v'(x) &= 6x^2\\ \end{align*}\]

On a donc

\[\begin{align*} g'(x) &= (2x-1)×(2x^3-4) + (x^2-x+2)×6x^2\\ g'(x) &= (4x^4-8x-2x^3+4) + (6x^4 - 6x^3 +12x^2)\\ g'(x) &= 10x^4 -8x^3 +12x^2 -8x +4\\ \end{align*}\]

Produit de fonctions usuelles

Objectif : donner l'ensemble de dérivabilité de chaque fonction, puis calculer sa dérivée.

1. Avec \(f(x) = \sqrt x(x+1)\)

\(f\) est le produit de deux fonctions,

• l'une est dérivable sur \(\mathbb R_{+}^{*}\)
• et l'autre sur \(\mathbb R\),

la fonction \(f\) est donc dérivable sur l'intersection \(\mathbb R_{+}^{*}\).

On pose

\[\begin{align*} u(x) &= \sqrt x & u'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\ v(x) &= x+1 & v'(x) &= 1\\ \end{align*}\]

On obtient

\[\begin{align*} f'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x} × (x+1) + \sqrt x ×1\\ f'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x} × (x+1) + \dfrac{\sqrt x×\left(2\sqrt x\right)}{2\sqrt x}\\ f'(x) &= \dfrac{(x+1) + 2x}{2\sqrt x}\\ f'(x) &= \dfrac{3x + 1}{2\sqrt x}\\ \end{align*}\]

2. Avec \(g(x) = \sqrt x(x^2-x+1)\)

\(f\) est le produit de deux fonctions, l'une est dérivable sur \(\mathbb R_{+}^{*}\) et l'autre sur \(\mathbb R\),
la fonction \(f\) est donc dérivable sur l'intersection \(\mathbb R_{+}^{*}\).

On pose

\[\begin{align*} u(x) &= \sqrt x & u'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x}\\ v(x) &= x^2-x+1 & v'(x) &= 2x-1\\ \end{align*}\]

On obtient

\[\begin{align*} g'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x} × (x^2-x+1) + \sqrt x ×(2x-1)\\ g'(x) &= \dfrac{(x^2-x+1) + 2x(2x-1)}{2\sqrt x}\\ g'(x) &= \dfrac{5x^2 -3x + 1}{2\sqrt x}\\ \end{align*}\]

Si on factorise le numérateur on peut en étudier le signe.

Quotient, fonctions usuelles

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = \dfrac14x^4 -\dfrac13x^3 +\dfrac12x^2 -10\) sur \(\mathbb R\)

On a \(f'(x) = x^3 - x^2 + x\)

Calculer \(g'(x)\) pour \(g(x) = \sqrt x + \dfrac1x\) sur \(\mathbb R_{+}^*\)

Il est possible de mettre au même dénominateur... On a

\[\begin{align*} f'(x) &= \dfrac1{2\sqrt x} + \dfrac{-1}{x^2}\\ f'(x) &= \dfrac{1×\left(x\sqrt x\right)}{2\sqrt x×\left(x\sqrt x\right)} + \dfrac{-2}{2x^2}\\ f'(x) &= \dfrac{x\sqrt x -2}{2x^2}\\ \end{align*}\]

C'est mieux pour, ensuite, en étudier le signe.

Composée d'affine

1. Identifier chaque fonction sous la forme \(f(x) = g(ax+b)\)
2. Préciser l'ensemble de dérivabilité
3. Calculer \(f'(x)\)

1. Avec \(f(x) = (5x+3)^2\)

1. Avec \(g(t) = t^2\) et \(ax+b = 5x+3\), on a \(f(x) = g(ax+b)\)
2. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est aussi dérivable sur \(\mathbb R\).
3. \(f'(x) = a×g'(ax+b)\), on déduit avec \(a=5\), \(b=3\)

\[\begin{align*} g'(t) &= 2t\\ f'(x) &= 5×2×(5x+3)\\ f'(x) &= 50x+30\\ \end{align*}\]

2. Avec \(f(x) = \sqrt{3x-4}\)

1. Avec \(g(t) = \sqrt t\) et \(ax+b = 3x-4\), on a \(f(x) = g(ax+b)\)
2. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R_{+}^{*}\), donc \(f\) est aussi dérivable sur l'ensemble des solutions de l'inéquation \(3x-4>0\), soit \(\left]\dfrac43\,;\,+\infty\right[\) ; il n'y a pas d'erreur \(\dfrac43\) est bien inclus dans l'ensemble de définition de \(f\), mais exclu pour \(f'\)
3. \(f'(x) = a×g'(ax+b)\), on déduit avec \(a=3\), \(b=-4\)

\[\begin{align*} g'(t) &= \dfrac1{2\sqrt t}\\ f'(x) &= 3×\dfrac1{2\sqrt {3x-4}}\\ f'(x) &= \dfrac3{2\sqrt {3x-4}}\\ \end{align*}\]

3. Avec \(f(x) = \left(\dfrac12 x - 1\right)^3\)

1. Avec \(g(t) = t^3\) et \(ax+b = \dfrac12 x - 1\), on a \(f(x) = g(ax+b)\)
2. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\), donc \(f\) est aussi dérivable sur \(\mathbb R\).
3. \(f'(x) = a×g'(ax+b)\), on déduit avec \(a=\dfrac12\), \(b=-1\)

\[\begin{align*} g'(t) &= 3t^2\\ f'(x) &= \dfrac12×3×\left(\dfrac12 x - 1\right)^2\\ f'(x) &= \dfrac32×\left(\dfrac12 x - 1\right)^2\\ \end{align*}\]