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Introduction⚓︎

À reprendre

Contexte⚓︎

Dans ce chapitre, on travaille avec des fonctions usuelles, et celles que l'on construit facilement avec. Des fonctions numériques à une seule variable réelle.

Dans les études supérieures, on rencontre

  • des fonctions à plusieurs variables, et on dérive par rapport à l'une et/ou l'autre...
  • des monstres : des fonctions curieuses, continues, mais nulle part dérivables...

Dans ces conditions, on donne des exemples de fonctions simples que l'on envisage :

  1. \(f(x) = (2x-1)(x+3)\) sur \(\mathbb R\)
  2. \(f(x) = x^2(\sqrt x + 1)\) sur \([0\,;\,+\infty[\)
  3. \(f(x) = \dfrac{x^3+1}{x^2-1}\) sur \(\mathbb R\setminus \{-1\,;\,+1\}\)
  4. \(f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{\sqrt x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)
  5. \(f(x) = \dfrac{\sqrt x}{x-1}\) sur \(]1\,;\,+\infty[\)

Une telle fonction possède une courbe représentative.

Pour presque chaque point de la courbe, on peut tracer une tangente à la courbe.

Lorsque c'est le cas pour une fonction \(f\) au point d'abscisse \(x_0\), on peut écrire en notant \(f'(x_0)\) le coefficient directeur de cette tangente.

\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)×(x - x_0) \text{ pour } x\approx x_0\]

Le nombre dérivé⚓︎

Pour déterminer le nombre dérivé \(f(x_0)\), on peut utiliser la notion de limite, quand elle existe.

Example

Jouez avec cette appliquette GeoGebra.

  1. Déplacer le point \(A\),
  2. Faire varier le curseur \(h\), pour que le point \(B\) soit plus ou moins proche de \(A\),
  3. Regarder l'équation de la tangente ; le coefficient directeur \(m\) est affiché en direct.

Vous pouvez changer la fonction \(f\) à loisir.

Comment est construite cette appliquette
  1. Une fonction \(f\) est crée seulement en donnant une expression littérale en \(x\).
  2. Un point \(A\) est créé sur la courbe représentative.
  3. Un curseur est créé, un nombre réel de \(0.01\) à \(1\), par pas de \(0.05\), il est initialisé à \(h = 0.5\).
  4. Un point \(B\) est créé :
    • son abscisse est \(A_x + h\) et son ordonnée sera l'image par \(f\),
    • avec GeoGebra : (x(A) + h, f(x(A) + h))
  5. La droite \((AB)\) est créée, c'est une approximation de la tangente à \(f\) au point \(A\).
  6. Le nombre réel \(m\) peut se déterminer avec \(g(1) - g(0)\).

Tout est dynamique !

L'équation de la tangente⚓︎

Si une fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors la courbe représentative de \(f\), que l'on note \(\mathcal C_f\) possède une tangente d'équation :

\[T_{x_0} : y = f(x_0) + f'(x_0)×(x - x_0)\]

Exemple

Si \(f\) est dérivable en \(5.1\), avec

  • \(f(5.1) = -3.2\)
  • \(f'(5.1) = 7.8\)

alors \(\mathcal C_f\) admet une tangente au point \(A\) d'abscisse \((5.1\,;\,-3.2)\), d'équation

\[T_A : y = -3.2 + 7.8×(x - 5.1)\]

On vérifie sans mal que cette tangente passe par \(A\) et possède un coefficient directeur égal à \(7.8\).

La réciproque est vraie

Si une fonction \(f\) possède une courbe représentative \(\mathcal C_f\) avec une tangente au point d'abscisse \(x_0\), dont l'équation est :

\[T_{x_0} : y = f(x_0) + m×(x - x_0)\]

Alors \(f\) est dérivable en \(x_0\) et on a \(f'(x_0) = m\).

Dériver une fonction⚓︎

On procède par analyse de la fonction :

  • Est-ce une fonction usuelle ?
    • Si oui, on connait sa dérivée. (Le tableau de résumé est à apprendre)
    • Si non, quelle est la dernière opération en terme priorité pour la construire ? On la décompose.