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Exercices corrigés⚓︎

Ces exercices sont corrigés en classe avec beaucoup plus de détails à l'oral. Vous devez être capable de pouvoir les refaire, les grandes lignes vous sont données ici, pour vous aider à les refaire.

Ex 62 p 197⚓︎

Pour chaque question, il est conseillé de faire un schéma qui illustre chaque angle avec son point image.

Question 1
  • \(\cos\left(\dfrac{-\pi}3\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}3\right) = \dfrac12\)
  • \(\sin\left(\dfrac{-7\pi}4\right) = \sin\left(\dfrac{-7\pi}4 + 2\pi\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt2}2\)

Ainsi \(\cos\left(\dfrac{-\pi}3\right) - \sin\left(\dfrac{-7\pi}4\right) = \dfrac12 - \dfrac{\sqrt2}2 = \dfrac{1-\sqrt2}2\)

Question 2
  • \(\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}3 - 2\pi\right) = \cos\left(\dfrac{-\pi}3\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}3\right) = \dfrac{1}2\)
  • \(\sin(2\pi) = \sin(0) = 0\)
  • \(\cos\left(\dfrac{-\pi}6\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}6\right) = \dfrac{\sqrt3}2\)

Ainsi \(\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right) - \sin(2\pi) + \cos\left(\dfrac{-\pi}6\right) = \dfrac{1}2 - 0 + \dfrac{\sqrt3}2 = \dfrac{1+\sqrt3}2\)

Question 3
  • \(\cos(-2018\pi) = \cos(-1009×2\pi) = \cos(0) = 1\)
  • \(\cos\left(\dfrac{-\pi}4\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}4 \right) = \dfrac{\sqrt2}2\)
  • \(\sin\left(\dfrac{3\pi}2\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}2 + \pi\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}2 \right) = -1\)
  • \(\sin\left(\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt2}2\)

Ainsi \(\cos(-2018\pi) - \cos\left(\dfrac{-\pi}4\right) + \sin\left(\dfrac{3\pi}2\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}4\right) = 1 - \dfrac{\sqrt2}2 -1 - \dfrac{\sqrt2}2 = -\sqrt 2\)

Question 4
  • \(\cos\left(\dfrac{\pi}6\right) = \dfrac{\sqrt3}2\)
  • \(\sin\left(\dfrac{\pi}3\right) = \dfrac{\sqrt3}2\)
  • \(\sin\left(\dfrac{\pi}2\right) = 1\)
  • \(\sin\left(\dfrac{4\pi}3\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}3+\pi\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}3\right) = - \dfrac{\sqrt3}2\)

Ainsi \(\cos\left(\dfrac{\pi}6\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}3\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}2\right) + \sin\left(\dfrac{4\pi}3\right) = \dfrac{\sqrt3}2 + \dfrac{\sqrt3}2 - 1 - \dfrac{\sqrt3}2 =\dfrac{\sqrt3}2 + (-1)= \dfrac{\sqrt3 - 2}{2}\)

Ex 63 p 197⚓︎

Question 1

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(\cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1\)

Ainsi \(\cos^2\left(\dfrac{-\pi}{13}\right) + \sin^2\left(\dfrac{-\pi}{13}\right) = 1\)

Question 2
  • \(\cos\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt 3}2\)
  • \(\sin\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{-1}2\)

Ainsi \(\cos^2\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) - \sin^2\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) = \dfrac 3 4 - \dfrac 1 4 = \dfrac 1 2\)

Question 3

  • \(\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right) =-\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =-\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) =-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{-1}2\)

  • \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{-1}2\)

  • \(\cos\left(-\pi\right) = -1\)

Ainsi \(\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right) × \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(-\pi\right) = \dfrac{-1}2×\dfrac{-1}2-(-1)=\dfrac 1 4 + 1 = \dfrac 5 4\)

Question 4
  • \(\sin\left(\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac{\sqrt2}2\)
  • \(\cos\left(\dfrac{\pi}3\right) = \dfrac{1}2\)

Ainsi \(\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}4\right)}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}3\right)} = \dfrac{\dfrac{\sqrt2}2}{\left(\dfrac{1}2\right)^2} = 2\sqrt2\)

Ex 73 p 198⚓︎

On donne \(\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 6}4\)

Avec \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on déduit

  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \sin^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \left(\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 6}4\right)^2=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \dfrac{2 + 2\sqrt{2×6} + 6}{16}=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \dfrac{8 + 2\sqrt{4×3}}{16}=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{16}=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}=1\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{4- (2 + \sqrt{3})}{4}\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}\)

Or \(\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{7\pi}{12} < \pi\), donc on déduit \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) < 0\) et donc

  • \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = -\sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}}\)

Variante⚓︎

On constate que

  • \(A = \left(\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt 6}4\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt 2 - \sqrt 6}4\right)^2\)
  • \(A = \dfrac{2 + 2×\sqrt{2×6}+ 6}{16} + \dfrac{2 -2×\sqrt{2×6}+6}{16}\)
  • \(A = \dfrac{16}{16}\)
  • \(A=1\)

On en déduit que

\[\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt 2 - \sqrt 6}4\]

On trouve donc une autre façon d'écrire la réponse qui est bien négative.

Ex 82 p 200⚓︎

On rappelle que \(\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\)

Avec \(x=\alpha=\beta\), on tire \(\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)\)

Or avec \(1 = \cos^2(x)+\sin^2(x)\), en ajoutant ces deux lignes, on tire

\(1+\cos(2x) = 2\cos^2(x)\) d'où on déduit

\[\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2\]

On sait que \(\cos\left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2\).

Avec \(x=\dfrac{\pi}8\), on a \(2x=\dfrac{\pi}4\) on déduit que

  • \(\cos^2\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}4\right)}2\)
  • \(\cos^2\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{2+\sqrt 2}4\)

Et avec \(\cos\left(\dfrac{\pi}8\right) > 0\), on déduit

\[\cos\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\]
  • \(\sin^2\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{4-(2+\sqrt 2)}4\)
  • \(\sin^2\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{2-\sqrt 2}4\)

Et avec \(\sin\left(\dfrac{\pi}8\right) > 0\), on déduit

\[\sin\left(\dfrac{\pi}8\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2\]

Questions pour vérifier

  • Comment expliquer que \(\cos\left(\dfrac{\pi}8\right) > 0\) ?
  • Comment expliquer que \(\sin\left(\dfrac{\pi}8\right) > 0\) ?
  • Savez-vous refaire les calculs sans aide et sans vous tromper ?