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Fonctions sin, cos, tan⚓︎

Nous ne faisons ici qu'une présentation de ces fonctions. Leur étude sera faite après le chapitre sur la dérivation.

Définitions⚓︎

Pour un angle \(a\) en radian (quelconque, donc n'importe quel nombre réel), on associe le point \(P\) d'ordonnée \(a\) sur la droite que l'on enroule sur le cercle trigonométrique. Cela donne un point \(M\) image d'une rotation de \(A\) de centre \(O\) et d'angle \(a\). On définit alors

  • \(\sin(a)\) : l'ordonnée du point \(M\)
  • \(\cos(a)\) : l'abscisse du point \(M\)
  • \(\tan(a) = \dfrac{\sin(a)}{\cos(a)}\) si \(\cos(a)\neq0\), sinon \(\tan(a)\) n'est pas défini.

Cohérence

Cette nouvelle définition est cohérente avec la définition donnée pour les angles aigus ; elle coïncide !

On a choisit la variable \(a\) juste au-dessus, pour éviter les confusion avec la fonction x de GeoGebra qui renvoie l'abscisse d'un point. Mais on peut utiliser la variable \(x\)...

Cette définition prolonge donc à tout nombre réel \(x\) la notion de \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) et \(\tan(x)\).

⚠ Pour \(\tan(x)\), il faut que \(\cos(x)\neq0\), sinon \(\tan(x)\) n'est pas défini. Nous verrons ensuite à quelles valeurs de \(x\) cela correspond. Nous donnerons aussi en exercice une interprétation géométrique de \(\tan(x)\) qui n'est pas seulement \(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Lignes trigonométriques⚓︎

Recopier et compléter le tableau suivant :

Angle (radian) sinus cosinus tangente
\(0\)
\(\dfrac{\pi}6\)
\(\dfrac{\pi}4\)
\(\dfrac{\pi}3\)
\(\dfrac{\pi}2\)
\(\dfrac{2\pi}3\)
\(\dfrac{3\pi}4\)
\(\dfrac{5\pi}6\)
\(\pi\)
\(\dfrac{5\pi}4\)
\(\dfrac{7\pi}4\)
\(2\pi\)

On pourra s'aider du tableau vu avec les angles aigus, de l'appliquette page précédente (avec \(n\) et \(m\) variable) et des symétries de la figure.

⚠ Il faut savoir compléter ce genre de tableau.

Représentation graphique⚓︎

Cosinus⚓︎

Expériences

Il y a un champ de saisie en bas, à côté du gros

  • Saisir cos(x+a), faire varier a. Émettre une conjecture, puis effacer cette courbe.
  • Saisir cos(x-a), faire varier a. Émettre une conjecture, puis effacer cette courbe.
  • Saisir sin(x+a), faire varier a. Émettre une conjecture, puis effacer cette courbe.
  • Saisir sin(x-a), faire varier a. Émettre une conjecture, puis effacer cette courbe.

Notre objectif va être de préciser et démontrer ces conjectures.

Sinus⚓︎

Faire le même genre d'expériences avec sin(x).

Propriétés⚓︎

Pour tout réel \(x\), un angle en radian, on a :

  • \(-1 \leqslant \cos(x) \leqslant +1\)
  • \(-1 \leqslant \sin(x) \leqslant +1\)
  • \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)

Une figure de référence⚓︎

Motivation 🚨

L'idée est d'être capable de retrouver facilement les formules afin

  • de ne pas avoir à les apprendre par cœur
  • ⚠ et d'être certain de ne faire aucune erreur de signe.

Il faut savoir refaire rapidement, à la main, le schéma qui correspond à l'appliquette en haut de la page : le cercle trigonométrique.

  • Tracer un cercle de rayon \(1\).
  • Tracer ensuite les axes.
  • Placer un point \(M\), sur le cercle,
    • associé à un angle \(x\) d'environ \(30°\) ; c'est plus simple pour raisonner.
    • ⚠ ne pas choisir environ \(45°\).
  • Placer \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\) sur les axes.

Encadrement utile avec \(x\) un angle aigu en radian

Si \(x\) est un angle aigu en radian ( \(0 < x < \frac\pi 2\)), alors

\[\sin(x) < x < \tan(x)\]

Preuve

On considère la figure ci-contre, avec un arc de cercle de rayon \(1\)

  1. Donner l'aire du triangle \(OIM\).
  2. Donner l'aire du secteur angulaire \(\angle O\overset{\Large\frown}{IM}\).
  3. Donner l'aire du triangle \(OIN\).
  4. En déduire l'encadrement demandé.
Réponses
  1. Le point \(M\) a pour coordonnées \((\cos(x), \sin(x))\), on en déduit que la hauteur \(MH\) mesure \(\sin(x)\), associée à la base \(OI\) de mesure \(1\), on obtient une aire de \(\dfrac{1×\sin(x)}2\) pour le triangle \(OIM\).
  2. D'après la formule vue plus haut, avec un rayon \(1\), l'aire du secteur angulaire est simplement \(\dfrac{x×1^2}2\)
  3. Dans la configuration de Thalès, avec \(MH/\!/NI\), on déduit \(\dfrac{NI}{MH} = \dfrac{OI}{OH}\), d'où \(\dfrac{NI}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\cos(x)}\), donc \(NI = \tan(x)\). Ainsi l'aire du triangle \(OIN\) est \(\dfrac{1×\tan(x)}2\)
  4. Le triangle \(OIM\) est inclus dans le secteur angulaire, qui lui-même est inclus dans le triangle \(OIN\), on déduit
\[\dfrac{\sin(x)}2 < \dfrac{x}2 < \dfrac{\tan(x)}2\]

Et ainsi, pour finir, pour tout angle aigu \(0 < x < \frac\pi2\), on a :

\[\sin(x) < x < \tan(x)\]

Activité

Pour toutes les situations suivantes :

  • Tracer un cercle trigonométrique.
  • Placer le point \(M'\) associé à la situation.
  • Indiquer l'angle associé au point \(M'\).
  • Placer le cosinus et le sinus associé.
  • Déduire, avec des considérations géométriques, une formule de trigonométrie.

Situations :

  1. Le point \(M'\) est l'image de \(M\) par une rotation de centre \(O\) et d'angle \(+2\pi\) (un tour complet).
  2. Le point \(M'\) est l'image de \(M\) par une rotation de centre \(O\) et d'angle \(+\pi\) (un demi-tour).
  3. Le point \(M'\) est l'image de \(M\) par une rotation de centre \(O\) et d'angle \(+\dfrac{\pi}2\) (un quart de tour).
  4. Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport au point \(O\).
  5. Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe \((Ox)\).
  6. Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe \((Oy)\).
  7. Le point \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation \(y=x\)).
4. Symétrie centrale
  • Le point \(M\) associé à l'angle \(x\) a pour coordonnées \(\left(\cos(x), \sin(x)\right)\).
  • Le point \(M'\) symétrique de \(M\) par rapport à \(O\) est associé à un angle de \(x+\pi\).
  • Le point \(M'\) a donc pour coordonnées \(\left(\cos(x+\pi), \sin(x+\pi)\right)\)
  • Pour des raisons de symétrie le point \(M'\) a pour coordonnées \(\left(-\cos(x), -\sin(x)\right)\)

On en déduit que pour tout \(x\in\mathbb R\)

\[\sin(x+\pi) = -\sin(x)\]
\[\cos(x+\pi) = -\cos(x)\]
\[\tan(x+\pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)\quad\text{si c'est défini}\]

⚠ À vous de faire les autres situations et d'établir trois formules dans chaque cas.

Bilan à savoir retrouver

Formules valables pour tout \(x\in\mathbb R\), sauf pour \(\tan\) où il y a des problèmes de définitions en certains points. Rappel : \(\tan(x)\) n'est pas défini quand \(\cos(x)=0\). Nous y reviendrons.

  1. Rotation de \(2\pi\) ; le point image de \(x\) et celui de \(x+2\pi\) sont confondus.

    \[\begin{cases} \sin(x+2\pi) & = &\sin(x)\\ \cos(x+2\pi) & = &\cos(x)\\ \tan(x+2\pi) & = &\tan(x)\\ \end{cases}\]

  2. Rotation de \(\pi\) ; le point image de \(x\) et celui de \(x+\pi\) sont diamétralement opposés.

    \[\begin{cases} \sin(x+\pi) & = &-\sin(x)\\ \cos(x+\pi) & = &-\cos(x)\\ \tan(x+\pi) & = &\tan(x)\\ \end{cases}\]

  3. Rotation de \(\pi/2\) ; attention aux signes

    \[\begin{cases} \sin\left(x+\frac{\pi}2\right) & = &\cos(x)\\ \cos\left(x+\frac{\pi}2\right) & = &-\sin(x)\\ \tan\left(x+\frac{\pi}2\right) & = &\frac{-1}{\tan(x)}\\ \end{cases}\]

  4. Symétrie par rapport au point \(O\), c'est une rotation de \(\pi\) ; déjà vu.

  5. Symétrie par rapport à l'axe \((Ox)\)

    \[\begin{cases} \sin(-x) & = &-\sin(x)\\ \cos(-x) & = &\cos(x)\\ \tan(-x) & = &-\tan(x)\\ \end{cases}\]

  6. Symétrie par rapport à l'axe \((Oy)\)

    \[\begin{cases} \sin(\pi-x) & = &\sin(x)\\ \cos(\pi-x) & = &-\cos(x)\\ \tan(\pi-x) & = &-\tan(x)\\ \end{cases}\]

  7. Symétrie par rapport à la première bissectrice

    \[\begin{cases} \sin\left(\frac{\pi}2 - x\right) & = &\cos(x)\\ \cos\left(\frac{\pi}2 - x\right) & = &\sin(x)\\ \tan\left(\frac{\pi}2 - x\right) & = &\frac{1}{\tan(x)}\\ \end{cases}\]

Pour le dernier cas, on retrouve une formule du collège : pour deux angles complémentaires, le sinus de l'un est le cosinus de l'autre. Et, en effet, \(\x\) et \(\pi/2 - x\) sont bien complémentaires.

Utilisation pratique⚓︎

Exercice simple

  • Déterminer \(\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)\).
  • Déterminer \(\sin\left(\dfrac{-19\pi}4\right)\).

Calcul numérique 💥 💥⚓︎

Surtout pour les élèves qui sont aussi en NSI, mais il n'y aucune connaissance de Python particulière à avoir.

  • On suppose que l'on est en train de construire soi-même des fonctions Python cos, sin et tan. Le module math est supposé inaccessible.
  • On suppose que les fonctions _cos_, _sin_ sont disponibles et renvoient le cosinus et le sinus d'un angle, mais uniquement pour un angle \(-\dfrac{\pi}4 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}4\).

Objectif : écrire de nouvelles fonctions cos et sin qui renvoient le cosinus et le sinus d'un angle quelconque.

On pourra compléter le code ci-dessous.

###
def py-undCOSpy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 1:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nlbksl-nldef py-undSINpy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 0:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nlbksl-nldef py-undpy-undcospy-undpy-und(x):bksl-nl x = x % (2py-strpi)bksl-nl if x > pi:bksl-nl x = x - 2py-strpibksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl x = -xbksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl signe = -1bksl-nl x = pi - xbksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = pi/2 - xbksl-nl return signe py-str py-undSINpy-und(x)bksl-nl else:bksl-nl return signe py-str py-undCOSpy-und(x)bksl-nlbksl-nldef py-undpy-undsinpy-undpy-und(x):bksl-nl x = x % (2py-strpi)bksl-nl if x > pi:bksl-nl x = x - 2py-strpibksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl x = -xbksl-nl signe = -1bksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl x = pi - xbksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = pi/2 - xbksl-nl return signe py-str py-undCOSpy-und(x)bksl-nl else:bksl-nl return signe py-str py-undSINpy-und(x)bksl-nlbksl-nlbksl-nlbksl-nl# Testsbksl-nlbksl-nlassert cos(0) == 1bksl-nlassert sin(0) == 0bksl-nlassert cos(pi/2) == 0bksl-nlassert sin(pi/2) == 1bksl-nlassert cos(pi) == -1bksl-nlassert sin(pi) == 0bksl-nlassert cos(2py-strpi) == 1bksl-nlassert sin(2py-strpi) == 0bksl-nlbksl-nl# Autres testsbksl-nlbksl-nlfor n in range(3000):bksl-nl x = n/10bksl-nl correct = abs(cos(x) - py-undpy-undcospy-undpy-und(x)) < 10py-strpy-str-9bksl-nl assert correct, f"Erreur avec cos et {x=}"bksl-nl correct = abs(sin(x) - py-undpy-undsinpy-undpy-und(x)) < 10py-strpy-str-9bksl-nl assert correct, f"Erreur avec sin et {x=}"bksl-nlbksl-nlfor n in range(0, -3000, -1):bksl-nl x = n/10bksl-nl correct = abs(cos(x) - py-undpy-undcospy-undpy-und(x)) < 10py-strpy-str-9bksl-nl assert correct, f"Erreur avec cos et {x=}"bksl-nl correct = abs(sin(x) - py-undpy-undsinpy-undpy-und(x)) < 10py-strpy-str-9bksl-nl assert correct, f"Erreur avec sin et {x=}"bksl-nlbksl-nlbksl-nl ∞/∞

#--- HDR ---#bksl-nldef py-undcospy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 1:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nlbksl-nldef py-undsinpy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 0:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nl#--- HDR ---#bksl-nlpi = 3.141592653589793bksl-nlbksl-nldef cos(x):bksl-nl x = x % (2py-strpi)bksl-nl if x > pi:bksl-nl x = x - ... # À modifierbksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl x = -xbksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl signe = -1bksl-nl x = ... # À modifierbksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = ... # À modifierbksl-nl return signe py-str py-undsinpy-und(x)bksl-nl else:bksl-nl return signe py-str py-undcospy-und(x)bksl-nlbksl-nldef sin(x):bksl-nl x = x % ... # À modifierbksl-nl if x > pi:bksl-nl x = ... # À modifierbksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl ... # À modifierbksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl x = ... # À modifierbksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = ... # À modifierbksl-nl return ... # À modifierbksl-nl else:bksl-nl return ... # À modifierbksl-nlbksl-nlbksl-nl# Testsbksl-nlbksl-nlassert cos(0) == 1bksl-nlassert sin(0) == 0bksl-nlassert cos(pi/2) == 0bksl-nlassert sin(pi/2) == 1bksl-nlassert cos(pi) == -1bksl-nlassert sin(pi) == 0bksl-nlassert cos(2py-strpi) == 1bksl-nlassert sin(2py-strpi) == 0bksl-nlbksl-nl#--- HDR ---#bksl-nldef py-undcospy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 1:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nlbksl-nldef py-undsinpy-und(x):bksl-nl assert -pi/4 <= x <= pi/4, "Interdit en dehors de l'intervalle"bksl-nl s = 0bksl-nl xn = 1bksl-nl f = 1bksl-nl for i in range(1, 17):bksl-nl if i % 2 == 0:bksl-nl s += xn / fbksl-nl xn py-str= xbksl-nl f py-str= ibksl-nl return sbksl-nl#--- HDR ---#bksl-nlpi = 3.141592653589793bksl-nlbksl-nldef cos(x):bksl-nl x = x % (2py-strpi)bksl-nl if x > pi:bksl-nl x = x - 2py-strpibksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl x = -xbksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl signe = -1bksl-nl x = pi - xbksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = pi/2 - xbksl-nl return signe py-str py-undsinpy-und(x)bksl-nl else:bksl-nl return signe py-str py-undcospy-und(x)bksl-nlbksl-nldef sin(x):bksl-nl x = x % (2py-strpi)bksl-nl if x > pi:bksl-nl x = x - 2py-strpibksl-nlbksl-nl if x < 0:bksl-nl x = -xbksl-nl signe = -1bksl-nl else:bksl-nl signe = +1bksl-nlbksl-nl if x > pi/2:bksl-nl x = pi - xbksl-nl bksl-nl if x > pi/4:bksl-nl x = pi/2 - xbksl-nl return signe py-str py-undcospy-und(x)bksl-nl else:bksl-nl return signe py-str py-undsinpy-und(x)bksl-nlbksl-nlbksl-nl# Testsbksl-nlbksl-nlassert cos(0) == 1bksl-nlassert sin(0) == 0bksl-nlassert cos(pi/2) == 0bksl-nlassert sin(pi/2) == 1bksl-nlassert cos(pi) == -1bksl-nlassert sin(pi) == 0bksl-nlassert cos(2py-strpi) == 1bksl-nlassert sin(2py-strpi) == 0bksl-nlbksl-nl

A

Z