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Version avec corrigé

Exercice 1 (2 points)⚓︎

On considère l'expression littérale $f(x) = -5x^2 +3x -7$

Indiquer l'ensemble de définition de $f$.
Indiquer le nom de la représentation graphique de $f$.
Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
Donner une représentation graphique très sommaire de $f$.

Réponse

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$, comme toute fonction polynomiale.
$f(x)$ est un trinôme du second degré en $x$, donc la représentation graphique de $f$ est une parabole.
Avec $a=-5$, $b=3$ et $c=-7$, on tire que
- avec $a<0$, la parabole est orientée vers le bas ; $f$ possède alors un maximum
- l'antécédent du maximum est $-b/(2×a)$ = 3/10 = 0.3$
- $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; 0.3]$ et décroissante sur $]0.3 ; \infty]$
On peut placer :
- un point $A$ de coordonnées $(0 ; -7)$,
- une droite tangente en $A$ d'équation $y==3x-7$
- un point $B$ de coordonnées $(0.3 ; f(0.3)) = (0.3 ; -6.55)$, qui correspond au maximum de $f$.

Exercice 2 (2 points)⚓︎

Résoudre l'équation : $9x^2 - 8x + 2 = 0$

Réponse

On pose $f(x) = 9x^2 - 8x + 2 = 0$.

$f(x)$ est un trinôme du second degré en $x$, avec $a=9$, $b=-8$ et $c=2$.

Son discriminant est $\Delta = b^2-4ac = (-8)^2-4×9×2 = +64 - 72 = -8$

Le discriminant est strictement négatif, donc l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune solution réelle.

Exercice 3 (2 points)⚓︎

La fonction $g$ suivante est-elle un trinôme du second degré ?

\[x\mapsto g(x) = x^3 + 2x + (1-x)(x-2)^2\]

Réponse

On va développer et réduire l'expression pour vérifier.

$g(x) = x^3 + 2x + (1-x)(x-2)^2$

$g(x) = x^3 + 2x + (1-x)(x^2 - 4x + 4)$

$g(x) = x^3 + 2x + (x^2 - 4x + 4) + (-x^3 + 4x^2 - 4x)$

$g(x) = 5x^2 -6x + 4$

Oui, Il s'agit bien d'un trinôme du second degré.

Exercice 4 (2 points)⚓︎

On considère l'équation d'inconnue réelle $x$, $(\mathcal E) : ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$, et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

Écrire une fonction Python qui renvoie le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$
Écrire une fonction Python qui renvoie le nombre de solutions de l'équation $(\mathcal E)$.

On pourra recopier et compléter le script ci-dessous :

🐍 Script Python

def delta(a, b, c):
    " Renvoie le discriminant de ax² + bx + c "
    return ...

def nb_solutions(a, b, c):
    """ Renvoie le nombre de solutions
    de l'équation ax² + bx + c = 0
    """
    discriminant = delta(a, b, c)
    if discriminant < 0:
        return ...
    elif discriminant ...:
        return 2
    else:
        return ...

Réponse

🐍 Script Python

def delta(a, b, c):
    " Renvoie le discriminant de ax² + bx + c "
    return b*b - 4*a*c
    # remarques : 
    # - les multiplications doivent être explicites
    # - le caractère ² est inconnu en Python,
    # donc `b² - 4ac` comporte plusieurs erreurs !
    return b**2 - 4*a*c  # autre possibilité

def nb_solutions(a, b, c):
    """ Renvoie le nombre de solutions
    de l'équation ax² + bx + c = 0
    """
    discriminant = delta(a, b, c)
    if discriminant < 0:
        return 0
    elif discriminant > 0:
        return 2
    else:
        return 1

Exercice 5 (4 points)⚓︎

Résoudre les inéquations suivantes sur $\mathbb R$ :

$(-3x^2+x+2)(x+3) \geqslant 0$
$x^4-5x^2+4 < 0$

Réponse 1.

On commence à factoriser $-3x^2+x+2$, c'est un trinôme du second degré en $x$, avec $a=-3$, $b=1$ et $c=2$.

Son discriminant est $\Delta = 1^2-4×(-3)×2 = 1+24 = 25$ ; il est positif et $\sqrt{\Delta}=5$.

Ainsi $-3x^2+x+2 = -3\left(x - \dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\right)\left(x - \dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\right) = -3\left(x - \dfrac{-1-5}{2×(-3)}\right)\left(x - \dfrac{-1+5}{2×(-3)}\right) = -3\left(x - 1\right)\left(x - \dfrac{-2}{3}\right)$

L'équation est alors $-3\left(x - 1\right)\left(x - \dfrac{-2}{3}\right)(x+3) \geqslant 0$

Faisons un tableau de signe

$x$		$-3$		$-2/3$		$1$
$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x-(-2/3)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
Produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Ce qui permet de répondre ; les solutions de l'inéquation $(-3x^2+x+2)(x+3) \geqslant 0$ sont $x\in ]-\infty;-3]\cup[-2/3;1]$

Réponse 2.

On pose $X=x^2$, ainsi $x^4-5x^2+4 = X^2-5X+4$ qui est un trinôme du second degré en $X$ dont le discriminant est $(-5)^2-4×1×4=25-16=9$ et sa racine carrée est $3$, ce qui permet de le factoriser : $X^2-5X+4 = 1×\left(X-\dfrac{-(-5)-3}{2×1}\right)\left(X-\dfrac{-(-5)+3}{2×1}\right) = (X-1)(X-4)$

On peut facilement vérifier, en développant $(X-1)(X-4)$.

On remplace à nouveau $X$ par $x^2$, et on déduit que

$x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4)$ ; on peut encore factoriser

$x^4-5x^2+4 = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ ; on peut alors faire un tableau de signe et répondre à la question.

Les solutions de l'inéquation $x^4-5x^2+4 < 0$ sont $x\in ]-2;-1[\cup]1;2[$

Exercice 6 (2 points)⚓︎

$(u_n)_n$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ qui est différent de zéro. On sait que $3u_0 + 5u_1 + u_2 = 0$.

Quelle peut être la raison de cette suite ?

Réponse

$(u_n)$ est géométrique, donc si on note $q$ sa raison, on a :

$u_1 = q×u_0$
$u_2 = q×u_1 = q^2×u_0$

De sorte que $3u_0 + 5u_1 + u_2 = 0$ est équivalent à

$3u_0 + 5q×u_0 + q^2×u_0 = 0$ ; on peut simplifier par $u_0$ qui est non nul

$3 + 5q + q^2 = 0$, on considère donc un trinôme du second degré avec $a=1$, $b=5$, $c=3$, de discriminant $\Delta = 5^2-4×1×3=25-12=13$.

Les solutions de cette équation donnent les raisons possibles à la suite géométrique : $\dfrac{-5-\sqrt{13}}{2}$ et $\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}$.

Exercice 7 (2 points)⚓︎

$(v_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $1$. On sait que $v_0^2 + v_1^2 + v_2^2 = 17$.

Montrer que $3v_0^2 + 6v_0 + 5 = 17$.
Quel peut être le premier terme de cette suite ?

Réponses

$(v_n)$ est arithmétique de raison $1$, donc

$v_1 = v_0 + 1$
$v_2 = v_1 + 1 = v_0 + 2$

De sorte que $v_0^2 + v_1^2 + v_2^2 = 17$ est équivalent à

$v_0^2 + (v_0+1)^2 + (v_0+2)^2 = 17$

$v_0^2 + v_0^2 +2v_0 +1 + v_0^2 +4v_0 + 4 = 17$

$3v_0^2 +6v_0 +5 = 17$ ce qu'il fallait démontrer.

Le premier terme de la suite est donc une solution de l'équation $3x^2 + 6x -12 = 0$ qui est un trinôme du second degré en $x$ qui se simplifie en

\[x^2+2x-4=0\]

Le discriminant de ce trinôme du second degré est $\Delta = 2^2-4×1×(-4)=4+16=20$ qui est strictement positif, avec $\sqrt{20} = \sqrt{4×5} = 2\sqrt5$, on obtient deux solutions $\dfrac{-2-2\sqrt5}{2}$ et $\dfrac{-2+2\sqrt5}{2}$.

Le premier terme de la suite peut donc être ou bien $-1-\sqrt 5$, ou bien $-1+\sqrt 5$.

Exercice 8 (2 points)⚓︎

Factoriser l'expression $h(x) = 2x^3+x^2-10x+7$

On pourra tracer la courbe représentative de $h$ avec une calculatrice, conjecturer la valeur d'une racine $x_1$, et le prouver. On pourra alors commencer la factorisation $h(x) = (x-x_1)(ax^2+bx+c)$ où $a$, $b$ et $c$ seront à déterminer. On pourra alors finir de factoriser.

Réponse

On constate (c'est juste une conjecture) en déplaçant le curseur que $h(1)=0$. Vérifions-le par le calcul.

$h(1) = 2×1^3+1^2-10×1+7 = 2+1-10+7= 0$ ; ainsi $1$ est une racine de cette équation polynomiale de degré 3. On peut alors écrire

$h(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c)$, où $a$, $b$ et $c$ sont inconnus.

On trouve facilement $a=2$ et $c=-7$ en développant et identifiant le terme de degré 3 et le terme constant. Pour $b$, on regarde les termes de degré 1 et 2, on déduit

$-bx + cx = -10x$, d'où $-b-7=-10$
$-ax^2+bx^2=x^2$, d'où $-2+b=1$

Ces deux équations conduisent à $b=3$.

Ainsi $h(x) = (x-1)(2x^2 + 3x -7)$ que l'on souhaite encore factoriser.

Le deuxième facteur est un trinôme du second degré, de discriminant $3^2-4×2×(-7) = 9+42=51$, on peut alors factoriser

\[h(x) = (x-1)×2×\left(x-\dfrac{-3-\sqrt{51}}{4}\right)\left(x-\dfrac{-3+\sqrt{51}}{4}\right)\]

Exercice 9 (2 points)⚓︎

Résoudre l'inéquation : $\sqrt{x-1} > -2x+3$

On indiquera d'abord l'ensemble de résolution.

Réponse

L'ensemble de définition est donné par la contrainte $x-1\geqslant 0$, ainsi $x\geqslant 1$.

L'équation est alors équivalente à

\[\begin{cases} x-1\geqslant 0\\ -2x+3< 0 \end{cases}\]

ou bien

\[\begin{cases} x-1\geqslant 0\\ -2x+3\geqslant 0\\ x-1 > (-2x+3)^2 \end{cases}\]

Le premier cas est simple à résoudre, il revient à

\[\begin{cases} x\geqslant 1\\ x > 1.5 \end{cases}\]

Il se résume alors à $x > 1.5$

Il y a un deuxième cas possible, à ajouter

\[\begin{cases} x\geqslant 1\\ x\leqslant 1.5\\ x-1 > (-2x+3)^2 \end{cases}\]

dont la dernière partie est équivalente à

$x-1 > 4x^2 -12x + 9$

$4x^2 -13x + 10 < 0$, et après calculs

$(4x-5)(x-2) < 0$, dont les solutions sont entre les racines $1.25$ et $2$

Le deuxième cas se résume alors à $x\in]1.25 ; 1.5]$

Enfin, quand on ajoute les deux cas, le bilan est :

l'inéquation a pour solutions $x>1.2$

Exercice Bonus (2 points)⚓︎

Écrire une fonction Python somme_et_produit qui donne, en fonction de $s$ et $p$, les solutions au problème suivant :
« Donner deux nombres dont la somme est $s$ et le produit est $p$. »

Cette fonction s'utilise ainsi :

🐍 Script Python

>>> somme_et_produit(21, 90)
(6.0, 15.0)

Au lieu d'une fonction Python, on pourra aussi donner une méthode détaillée en français.

Réponse

🐍 Script Python

from math import sqrt

def somme_et_produit(s, p):
    """Renvoie deux nombres dont la somme est s et le produit p.
    S'il n'y a pas de solution, renvoie None
    """
    # les nombres sont solutions de x² -sx +p
    delta = s*s - 4*p
    if delta < 0:
        return None
    else:
        return ((s - sqrt(delta)) / 2,
                (s + sqrt(delta)) / 2
                )

Explication : avec $a=1$, $b=-s$ et $c=p$, il suffit de réécrire les formules du cours.

Réponse en français, sans Python :

On résout l'équation $x^2-sx+p=0$
Si le discriminant est strictement négatif, il n'y a pas de solution
Sinon, les nombres cherchés sont les deux nombres trouvés
En cas de discriminant nul, les deux nombres sont identiques, ce qui permet d'utiliser la méthode du cas précédent.

\(x\)		\(-3\)		\(-2/3\)		\(1\)
\(-3\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(x-1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(x-(-2/3)\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(x+3\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
Produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)