Exercices corrigés

Somme et produit

Déterminer, si possible :

1. Deux nombres dont la somme est \(10\) et le produit est \(-299\).

   Réponse

   • On suppose que \(x_1+x_2 = s = 10\) et \(x_1×x_2 = p = -299\).
   • \(x_1\) et \(x_2\) sont solutions de \((x-x_1)(x-x_2) = 0\), donc aussi de
   • \(x^2 - x×x_1 - x×x_2 + (-x_1)×(-x_2) = 0\)
   • \(x^2 -(x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0\)
   • \(x^2 -sx + p = 0\)
   • \(x^2 -10x -299 = 0\) ; équation dont \(x_1\) et \(x_2\) sont solutions.
   • Ce trinôme du second degré (avec \(a=1\), \(b=-10\), \(c=-299\)) possède un discriminant égal à \(\Delta = (-10)^2 - 4×1×(-299) = 100 + 1196 = 1296\) ; il est positif, ainsi on peut factoriser le trinôme.
   • Avec \(\sqrt\Delta = \sqrt{1296} = 36\), on a
   • \(1×\left(x-\dfrac{-(-10) + 36}{2×1}\right)\left(x-\dfrac{-(-10) - 36}{2×1}\right) = 0\)
   • \((x-\dfrac{46}2)(x-\dfrac{-26}2) = 0\)
   • \((x-23)(x-(-13)) = 0\), dont les solutions sont
   • \(23\) et \(-13\), deux nombres dont la somme est \(10\), et le produit \(-299\).

2. Deux nombres dont la somme est \(4\) et le produit est \(2\).

   Réponse

   • Avec le même raisonnement, on a
   • \(x^2 -sx + p = 0\)
   • \(x^2 -4x +2 = 0\) ; équation dont \(x_1\) et \(x_2\) sont solutions.
   • \(\Delta = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8\), qui est positif.
   • \(\left(x - \dfrac{-(-4) - \sqrt8}{2×1}\right)\left(x - \dfrac{-(-4) + \sqrt8}{2×1}\right) = 0\)
   • \(\left(x - \dfrac{4 - 2\sqrt2}{2}\right)\left(x - \dfrac{4 + 2\sqrt2}{2}\right) = 0\)
   • \(\left(x - (2 - \sqrt2)\right)\left(x - (2 + \sqrt2)\right) = 0\), dont les solutions sont
   • \(2 - \sqrt2\) et \(2 + \sqrt2\), les nombres cherchés.
   • Vérification :
     • La somme vaut \(4\), clairement.
     • Le produit vaut \(2^2 - \sqrt2^2=4 - 2 = 2\).

3. Deux nombres dont la somme est \(5\) et le produit est \(7\).

   Réponse

   • Avec le même raisonnement, on a
   • \(x^2 -sx + p = 0\)
   • \(x^2 -5x +7 = 0\) ; équation dont \(x_1\) et \(x_2\) sont solutions.
   • \(\Delta = (-5)^2 - 4×1×7 = 25 - 28 = -3\), qui est strictement négatif.
   • Il n'y a aucune solution !

Degré trois

Résoudre l'équation \(5x^3 -13x^2 -6x = 0\).

Réponse

• On factorise le membre de gauche par \(x\), c'est un produit nul.
• \(x(5x^2 -13x -6) = 0\) a pour solution
  • \(x = 0\), mais aussi
  • celles de \((5x^2 -13x -6) = 0\).
  • Pour ce deuxième cas, c'est un trinôme du second degré avec \(a=5\), \(b=-13\), \(c=-6\), donc \(\Delta = (-13)^2 - 4×5×(-6) = 169 + 120 = 289\), qui est positif avec \(\sqrt{\Delta} = 17\).
  • Les solutions sont \(\dfrac{-(-13) - 17}{2×5}\) et \(\dfrac{-(-13) + 17}{2×5}\) ; à savoir \(\dfrac{-4}{10}\) et \(3\).
• L'ensemble des solutions de l'équations est

\[\mathscr S = \left\{\dfrac{-4}{10}, 0, 3\right\}\]

Degré quatre

Résoudre l'équation \(x^4 -16x^2 +63 = 0\).

Réponse

• On pose \(X = x^2\), l'équation devient
• \(X^2 - 16X + 63 = 0\), qui est un trinôme du second degré en \(X\),
• avec \(a=1\), \(b=-16\), \(c=63\), on a \(\Delta = (-16)^2 - 4×1×63 = 256 - 252 = 4\), qui est positif, avec \(\sqrt{\Delta} = 2\).
• Les solutions sont \(X\) est égal à \(\dfrac{-(-16) - 2}{2×1}\) ou \(\dfrac{-(-16) + 2}{2×1}\).
• Ainsi \(X = 7\), ou bien \(X = 9\).
• Dans le cas \(X = 7\), on a
  • \(x^2 = 7\) qui possède deux solutions :
  • \(x = -\sqrt7\), ou bien \(x = \sqrt7\).
• Dans le cas \(X = 9\), on a
  • \(x^2 = 9\) qui possède deux solutions :
  • \(x = -3\), ou bien \(x = 3\).
• Conclusion, l'ensemble des solutions est

\[\mathscr S = \left\{-3, -\sqrt7, \sqrt7, 3\right\}\]

Extrémum

Indice : on pourra d'abord donner une forme canonique au trinôme du second degré...

Donner l'extrémum sur \(\mathbb R\) et son antécédent des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = 8(x+3)^2 - 13\)

   Réponse

   Ici, \(a=8\) ; la parabole est orientée vers le haut, avec un minimum réalisé quand \(x+3=0\).

   \(f\) possède un minimum égal à \(f(-3)=-13\).

2. \(g(x) = -5x^2 + 7x + 8\)

   Réponse

   • \(g(x) = -5\left(x^2 - 2\dfrac7{10}x\right) + 8\)
   • \(g(x) = -5\left(x^2 - 2\dfrac7{10}x + \left(\dfrac7{10}\right)^2 - \left(\dfrac7{10}\right)^2 \right) + 8\)
   • \(g(x) = -5\left(x - \dfrac7{10} \right)^2 +5×\left(\dfrac7{10}\right)^2 + 8\)
   • \(g\) possède un maximum égal à \(g\left(\dfrac7{10}\right) = 5×\left(\dfrac7{10}\right)^2 + 8 = \dfrac{1045}{100}\), que l'on pourrait simplifier par 5 en \(\dfrac{209}{20}\).

3. \(h(x) = (x+3)(4x-7) - 5\)

   Réponse

   • \(h(x) = 4x^2 -7x +12x -21 - 5\)
   • \(h(x) = 4x^2 +5x -26\)
   • \(h(x) = (2x)^2 +2×2x×\dfrac54 +\left(\dfrac54\right)^2 -\left(\dfrac54\right)^2 - 26\)
   • \(h(x) = \left(2x+\dfrac54\right)^2 -\left(\dfrac54\right)^2 - 26\)
   • \(h\) possède un minimum quand \(\left(2x+\dfrac54\right)=0\), c'est à dire quand \(x = \dfrac{-5}8\), qui est égal à \(h\left(\dfrac{-5}8\right) = -\left(\dfrac54\right)^2 - 26 = \dfrac{-441}{16}\)

Python

1. Écrire une fonction discriminant(a, b, c) qui renvoie le discriminant du trinôme \(ax^2+bx+c\).

   Réponse

   🐍 Script Python

   def discriminant(a, b, c):
       "renvoie le discriminant du trinôme ax² + bx + c."
       return b*b -4*a*c
   

   Remarques :

   • b*b ou b**2, le premier est plus simple.
   • Ensuite -4*a*c, les multiplications doivent être explicites ; 4ac est faux.

2. Recopier et compléter la fonction solutions(a, b, c) qui renvoie
   les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c = 0\).

   🐍 Script Python

   ??? import sqrt
   
   def solutions(a, b, c):
       "Renvoie les solutions de ax² + bx + c = 0"
       delta = ???
       if delta > 0:
           racine_delta = ???
           x_1 = ???
           x_2 = ???
           return (x_1, x_2)  # deux solutions
       elif ???
           x_0 = ???
           return (x_0, x_0)  # solution double
       else:
           return None        # pas de solution
   

Réponse

🐍 Script Python

from math import sqrt

def solutions(a, b, c):
    "Renvoie les solutions de ax² + bx + c = 0"
    delta = discriminant(a, b, c)
    if delta > 0:
        racine_delta = sqrt(delta)
        x_1 = (-b - racine_delta) / (2*a)
        x_2 = (-b + racine_delta) / (2*a)
        return (x_1, x_2)  # deux solutions
    elif delta == 0:
        x_0 = -b / (2*a)
        return (x_0, x_0)  # solution double
    else:
        return None        # pas de solution

Remarques :

• / (2*a) ; les parenthèses sont indispensables !
• elif delta == 0: ; il faut doubler le =, et ne pas oublier : à la fin.

Défi 1

On considère l'expression \(f(x) = 2x^3 -7x^2 +2x +3\).

1. Vérifier que \(1\) est solution de \(f(x) = 0\).

   Réponse

   \(f(1) = 2×1^3-7×1^2 +2×1 +3 = 2 - 7 +2 + 3 = 0\). Oui, \(1\) est solution de l'équation.

2. En déduire une factorisation de \(f(x)\) sous la forme \((x-1)(ax^2+bx+c)\).

   Réponse

   • Développons \((x-1)(ax^2+bx+c)\).
   • \(ax^3+bx^2+cx -ax^2-bx-c\)
   • \(ax^3 +(b-a)x^2 + (c-b)x - c\), qui est censé être égal à \(2x^3 -7x^2 +2x +3\), on déduit
   • \(\begin{cases} a = 2\\ b-a = -7\\ c-b = 2\\ -c = 3 \end{cases}\)
   • d'où \(a=2\), puis \(b=-5\) et \(c=-3\).
   • Il vient \(f(x) = (x-1)(2x^2-5x-3)\)

3. Résoudre l'équation \(f(x) = 0\).

   Réponse

   • Ou bien \(x-1 = 0\), et alors \(x=1\).
   • Ou bien \(2x^2-5x-3 = 0\) qui est un trinôme du second degré,
     • avec \(a=2\), \(b=-5\) et \(c=-3\), on a \(\Delta = 25 + 24 = 49\), qui est positif, avec \(\sqrt\Delta = 7\).
     • dont les solutions sont \(\dfrac{-(-5) - 7}{2×2}\) et \(\dfrac{-(-5) + 7}{2×2}\), soit \(\dfrac{-1}2\) et \(3\).
   • Conclusion :

   \[\mathscr S = \left\{\dfrac{-1}2, 1, 3\right\}\]

Défi 2

Résoudre \(x -2\sqrt{x} -3 = 0\).

Réponse

• On sait déjà que \(x\geqslant0\), afin que \(\sqrt x\) soit défini.
• On pose \(X = \sqrt x\), l'équation devient :
• \(X^2 -2X -3 = 0\), qui est un trinôme du second degré en \(X\).
• On trouve facilement \(X = -1\) ou \(X = 3\).
• Dans le cas où \(X = -1\), on a
  • \(\sqrt x = -1\), qui n'a aucune solution en \(x\) réel.
• Dans le cas où \(X = 3\), on a
  • \(\sqrt x = 3\), qui possède une unique solution réelle :
  • \(x = 9\).
• Conclusion : l'unique solution réelle de l'équation est \(9\).