Inéquations et radicaux⚓︎
Exemples traités ici
Indice pour \(\left(\mathscr E_6\right)\)
Il pourra être utile de factoriser le polynôme \(P(x) = 2x^3 -3x^2 -12x +20\)
Prérequis⚓︎
- Savoir résoudre des inéquations classiques.
- Savoir factoriser un trinôme du second degré et d'autres polynômes simples.
- Savoir travailler avec le sens de variation des fonctions carrée et racine carrée.
Objectif
- Être capable de comprendre la suite et savoir le refaire sans apprendre par cœur.
Rappels utiles⚓︎
Résoudre une inéquation⚓︎
Les règles sont les mêmes que pour les équations entre deux membres :
- On a le droit d'ajouter un même terme dans chaque membre.
- On a le droit de soustraire un même terme dans chaque membre.
- On a le droit de multiplier chaque membre entièrement par un même facteur non nul.
- On a le droit de diviser chaque membre entièrement par un même facteur non nul.
La seule différence étant que si on multiplie ou si on divise un membre par un facteur négatif, alors on change le sens le l'inégalité.
Factoriser un trinôme du second degré⚓︎
Le trinôme \(P(x) = ax^2+bx+c\), avec \(a, b, c \in \mathbb R\) et \(a\neq0\) possède un discriminant \(\Delta = b^2-4ac\).
- Si \(\Delta < 0\), on ne peut pas factoriser \(P(x)\) dans \(\mathbb R\).
- Si \(\Delta = 0\), on a une écriture factorisée \(P(x) = a\left(x - \dfrac{-b}{2a}\right)^2\)
- Si \(\Delta > 0\), on a une écriture factorisée \(P(x) = a\left(x - \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right)\)
Sens de variation et carré⚓︎
Sur \(\mathbb R^+\) les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x \mapsto \sqrt x\) sont croissantes, ce qui signifie que :
On a aussi la version avec inégalités larges.
Ici \(x\) et \(y\) sont positifs.
Les cas typiques⚓︎
Une seule racine carrée⚓︎
Cas 1 : √(A) ≤ B⚓︎
Équation de la forme
L'ensemble de définition sera l'intersection :
- de l'ensemble de définition de \(A\)
- de l'ensemble de définition de \(B\)
- de l'ensemble des solutions de \(A \geqslant 0\)
Ensuite, on peut déduire que les solutions sont avec \(B \geqslant 0\). Et en utilisant que les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x \mapsto \sqrt x\) sont croissantes sur \(\mathbb R^+\), on déduit :
Une racine inférieure à ...
De même, avec l'inégalité stricte
On note que dans l'inégalité stricte \(A\) peut être nul, mais pas \(B\).
Exemple simple
L'inéquation \(\left(\mathscr E_0\right) \qquad \sqrt{x+2} < \dfrac x3 + 1\) est équivalente à
Elle-même équivalente aux systèmes suivants
Après calculs, la deuxième inégalité est équivalente à \(x \in \left]-\infty ; \dfrac{3-3\sqrt5}2\right[ \cup \left]\dfrac{3+3\sqrt5}2 ; +\infty\right[\), pour un bilan en ajoutant des deux contraintes du système :
Cas 2 : √(A) ≥ B⚓︎
Équation de la forme
L'ensemble de définition sera l'intersection :
- de l'ensemble de définition de \(A\)
- de l'ensemble de définition de \(B\)
- de l'ensemble des solutions de \(A \geqslant 0\)
Ensuite, on peut déduire qu'il y a deux situations :
- les solutions avec \(B < 0\). Là, \(A\) peut être positif quelconque.
- les solutions avec \(B \geqslant 0\). Et en utilisant que les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x \mapsto \sqrt x\) sont croissantes sur \(\mathbb R^+\), on déduit :
Une racine supérieure à ...
De même, avec l'inégalité stricte
Il faut résoudre les deux situations. Pour chaque situation, les contraintes s'ajoutent. À la fin, on ajoute les solutions.
Deux racines carrées⚓︎
√(A) ≤ √(B)⚓︎
Équation de la forme
L'ensemble de définition sera l'intersection :
- de l'ensemble de définition de \(A\)
- de l'ensemble de définition de \(B\)
- de l'ensemble des solutions de \(A \geqslant 0\)
- de l'ensemble des solutions de \(B \geqslant 0\)
Ensuite, on peut déduire que les solutions sont avec \(A \geqslant 0\) et \(B \geqslant 0\). Et en utilisant que les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x \mapsto \sqrt x\) sont croissantes sur \(\mathbb R^+\), on déduit :
Deux racines à comparer ...
De même, avec l'inégalité stricte
On note que dans l'inégalité stricte \(A\) peut être nul, mais pas \(B\).
Exemple complet n°1⚓︎
Ensemble de définition⚓︎
L'ensemble de définition de l'inéquation \((\mathscr E_1)\) est donné par les contraintes : \(-x^2+2x \geqslant 0\) et \(x^2-x-1 \geqslant 0\).
-
Pour la première, une simple factorisation par \(x\) donne \(x(-x+2) \geqslant 0\), et avec un tableau de signe, on obtient la contrainte \(x \in [0 ; 2]\).
-
Pour la seconde, le discriminant du trinôme est \(\Delta = (-1)^2 - 4\times1\times(-1) = 5>0\).
Une fois étudié, on a \(x \in \left]-\infty ; \dfrac{1-\sqrt5}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1+\sqrt5}{2} ; +\infty\right[\).
Ces deux contraintes donnent, par intersection, \(\left[\dfrac{1+\sqrt5}{2} ; 2\right]\) comme ensemble de définition.
Représentation graphique⚓︎
On représente \(x\mapsto \sqrt{-x^2+2x}\) (en bleu), et \(x\mapsto \sqrt{x^2-x-1}\) (en rouge).
Cela nous donnera une idée des solutions, sans être une preuve ; c'est une bonne pratique.
On vérifie que notre ensemble de définition est environ \([1.6 ; 2]\) ; là où bleu et rouge existent.
Les solutions étant là où bleu est au-dessus de rouge. Zoomons dans cet intervalle.
Une lecture graphique nous indique des solutions pour \(x \in [1.62 ; 1.78[\) environ.
Ce n'est pas une preuve, juste une indication. Faisons maintenant la résolution.
Résolution⚓︎
Une inéquation de la forme \(\sqrt{A}>\sqrt{B}\) est équivalente à :
En effet, on rappelle que
- \(A\geqslant 0\) et \(B\geqslant 0\) sont là pour la définition des racines carrées.
- Ensuite, les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto \sqrt x\) sont strictement croissantes sur \([0\,;\,+\infty[\)
Les deux premières conditions nous ont déjà donné l'ensemble de définition.
Reste à résoudre : \(-x^2+2x>x^2-x-1\), qui donne après calculs : \(x \in \left]\dfrac{3-\sqrt{17}}{4} ; \dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right[\).
Et en gros ?
On donne des valeurs approchées utiles :
- \(\dfrac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) ;
- \(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}\approx -0.281\) ;
- \(\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\approx 1.781\) .
On assemble les contraintes
Les solutions de l'inéquation \((\mathscr E_1)\) sont : \(x \in \left[\dfrac{1+\sqrt5}{2} ; \dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right[\).
Vérification avec Python
Ce n'est pas une preuve, mais vérifions ce résultat avec Python.
from math import sqrt
def gauche(x):
"Définition du membre de gauche de l'inéquation"
return sqrt(-x*x +2*x)
def droite(x):
"Définition du membre de droite de l'inéquation"
return sqrt(x*x -x -1)
for i in range(1618, 1781):
x = i / 1000 # x vaut de 1.618 à 1.780 par pas de 0.001
assert gauche(x) > droite(x), f"Erreur avec x = {x}"
L'exécution de ce script ne provoque par d'erreur. L'intervalle [1.618 ; 1.781[ semble correct.
Ci-dessous est hors programme
Pour tester que l'inégalité est invalide en dehors, c'est bien plus délicat. Soit elle n'est pas définie, soit elle est fausse. La méthode est hors programme.
from math import sqrt
def gauche(x):
"Définition du membre de gauche de l'inéquation"
return sqrt(-x*x +2*x)
def droite(x):
"Définition du membre de droite de l'inéquation"
return sqrt(x*x -x -1)
for a, b in [(-5000, 1618), (1782, 5000)]:
for i in range(a, b):
x = i / 1000
# x vaut de -5.000 à 1.617 par pas de 0.001
# puis de 1.782 à 4.999 par pas de 0.001
try:
assert gauche(x) <= droite(x), f"Erreur avec x = {x}"
# le calcul a réussi et l'inégalité était bien fausse
except:
pass
# le calcul n'a pas abouti :
# - division par zéro
# - ou racine carrée de nombre négatif
# - ou peu importe...
Exemple complet n°2⚓︎
Ensemble de définition⚓︎
L'ensemble de définition de l'inéquation \((\mathscr E_2)\) est donné par la contrainte \(x^2+1 \geqslant 0\). Soit \(x \in \mathbb{R}\), après un calcul simple.
Représentation graphique⚓︎
On constate que les solutions semblent être : \(x \in ]0 ; +\infty[\).
Résolution⚓︎
Une équation de la forme \(A>\sqrt{B}\) est équivalente à :
-
La première contrainte est \(2x+1>0\), soit \(x> \dfrac{-1}{2}\).
-
La deuxième contrainte est \(x^2+1\geqslant 0\), toujours réalisée, soit \(x \in \mathbb{R}\).
-
La troisième contrainte est \((2x+1)^2 > x^2+1\), qui se ramène, après calculs, à :
- \(3x^2+4x>0\), puis sous forme factorisée :
- \(x(3x+4)>0\) dont les solutions sont :
- \(x \in \left]-\infty ; \dfrac{-4}{3}\right[ \cup ]0 ; +\infty[\).
Bilan
On assemble les trois contraintes.
Les solutions de l'inéquation \((\mathscr E_2)\) sont : \(x \in ]0 ; +\infty[\).
Exemple complet n°3⚓︎
Ensemble de définition⚓︎
L'ensemble de définition de l'équation \(\left(\mathscr E_3\right)\) est donné par la contrainte \(x^2-2x \geqslant 0\).
Factorisée, elle s'écrit aussi \(x(x-2)\geqslant 0\), ou encore \(x \in ]-\infty ; 0] \cup [2 ; +\infty[\).
Représentation graphique⚓︎
Il semble n'y avoir aucune solution.
Résolution⚓︎
Une inéquation de la forme \(A>\sqrt{B}\) est équivalente à :
-
La première contrainte est \(x-3 > 0\), soit \(x>3\).
-
La deuxième contrainte est \(x^2-2x \geqslant 0\), soit \(x \in ]-\infty ; 0] \cup [2 ; +\infty[\).
-
La troisième contrainte est \((x-3)^2 > x^2-2x\), qui se ramène à \(-4x+9>0\), c'est-à-dire \(x<\dfrac{9}{4}\).
Bilan
\(\dfrac{9}{4}<3\), on en conclut que la première et troisième contrainte excluent toute solution.
Il n'y a aucune solution à cette inéquation \(\left(\mathscr E_3\right)\).
Exemple complet n°4⚓︎
Ensemble de définition⚓︎
L'ensemble de définition de l'inéquation \(\left(\mathscr E_4\right)\) est donné par les contraintes : \(3-2x \geqslant 0\) et \(2x-x^2 \geqslant 0\).
-
La première impose \(x \in \left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right]\).
-
La seconde impose \(x \in [0 ; 2]\).
Ce qui nous donne \(\left[0 ; \dfrac{3}{2}\right]\) comme ensemble de définition.
Représentation graphique⚓︎
On représente \(x\mapsto \sqrt{3-2x}\) (en bleu), et \(x\mapsto \sqrt{2x-x^2}\) (en rouge).
Il semble y avoir des solutions dans \([1 ; 1.5]\), environ.
Résolution⚓︎
Une équation de la forme \(\sqrt{A} \leqslant \sqrt{B}\) est équivalente à :
Les deux premières contraintes nous ont donné l'ensemble de définition.
- La troisième contrainte est \(3-2x \leqslant 2x-x^2\),
- qui s'écrit aussi \(x^2-4x+3\leqslant0\),
- équivalente à \((x-3)(x-1)\leqslant0\),
- et donc à \(x \in [1 ; 3]\).
Bilan
Les solutions de l'inéquation \(\left(\mathscr E_4\right)\) sont : \(x \in \left[1 ; \dfrac{3}{2}\right]\).
Exemple complet n°5⚓︎
Ensemble de définition⚓︎
L'ensemble de définition de l'équation \(\left(\mathscr E_5\right)\) est donné par la contrainte \(x^2+x-6 \geqslant 0\).
- Factorisée, elle s'écrit aussi \((x-2)(x+3)\geqslant 0\),
- ou encore \(x \in ]-\infty ; -3] \cup [2 ; +\infty[\).
Représentation graphique⚓︎
Et zoomons entre \(4\) et \(8\) :
Il semble y avoir des solutions pour \(x \in ]-\infty; -3] \cup ]6 ; +\infty[\), environ.
Résolution⚓︎
Une équation de la forme \(A<\sqrt{B}\) est équivalente à :
Deux situations !
Il ne faut pas oublier les situations où \(A\) peut être négatif.
Il y a deux situations à traiter, on fera l'union des deux, et non l'intersection !
Première situation
On a \(x\geqslant0\), \(x \in ]-\infty ; -3] \cup [2 ; +\infty[\) et une troisième contrainte \(x^2 < x^2+x-6\).
Cette dernière se ramène à \(x>6\).
L'intersection des trois contraintes nous donne \(x \in ]6 ; +\infty[\).
Seconde situation
On a \(x<0\) et \(x \in ]-\infty ; -3] \cup [2 ; +\infty[\), sans autre contrainte.
L'intersection donne \(x \in ]-\infty ; -3]\).
Bilan
On fait la réunion des deux cas.
Les solutions de l'inéquation \(\left(\mathscr E_5\right)\) sont : \(x\in ]-\infty ; -3]\cup]6 ; +\infty[\).
Exemple complet n°6 : une inéquation sérieuse⚓︎
Résolution dans \(\mathbb R\) de :
Indice
Il pourra être utile de factoriser le polynôme \(P(x) = 2x^3 -3x^2 -12x +20\)
Ensemble de définition⚓︎
L'inéquation \(\left(\mathscr E_6\right)\) est définie si les deux radicandes sont positives et non nulles pour pouvoir ensuite faire la division :
- \(x+1>0\), soit \(x>-1\) ;
- \(2x-1>0\), soit \(x>\frac{1}{2}\). Qui est plus contraignante.
L'ensemble de définition de \(\left(\mathscr E_6\right)\) est : \(x \in ]\frac{1}{2} ; +\infty[\).
Résolution graphique⚓︎
Il semble que les solutions soient : \(x>\dfrac 1 2\), et \(x\neq 2\).
Il n'y a rien à gauche de \(\frac12\), mais la courbe se prolonge à droite à l'infini.
Factorisation du polynôme donné en indice⚓︎
On considère \(P(x) = 2x^3 -3x^2 -12x +20\)
On cherche une racine entière entre \(-3\) et \(3\).
- On peut regarder une représentation graphique,
- ou bien faire un script Python :
def P(x):
return 2*x**3 -3*x**2 -12*x +20
for i in range(-3, 4):
print("L'image de", i, "par P est :", P(i))
L'image de -3 par P est : -25
L'image de -2 par P est : 16
L'image de -1 par P est : 27
L'image de 0 par P est : 20
L'image de 1 par P est : 7
L'image de 2 par P est : 0
L'image de 3 par P est : 11
On constate que \(2\) est une racine du polynôme \(P(x)\).
Il s'écrit donc aussi \(P(x) = (x-2)(ax^2 +bx +c)\).
En développant, on a : \(P(x) = ax^3 +(b-2a)x^2 +(c-2b)x -2c\).
Mais on a aussi : \(\qquad P(x) = 2x^3 -3x^2 -12x +20\).
En identifiant les coefficients, on tire :
On déduit, \(a=2\), \(c=-10\), et enfin \(b=1\) de deux manières différentes.
Ainsi \(P(x) = (x-2)(2x^2 +x -10)\).
Le discriminant du trinôme du second degré \((2x^2 +x -10)\) est \(\Delta = 1^2 - 4\times2\times(-10) = 81\).
Avec \(\sqrt{\Delta} = 9\), on peut écrire :
Finalement \(P(x) = 2(x-2)^2(x+\frac{5}{2})\) est entièrement factorisé.
Résolution⚓︎
Dans l'ensemble de définition, les dénominateurs de l'inéquation sont strictement positifs, on peut donc les multiplier tous deux dans chaque membre, pour obtenir :
Dans l'ensemble de définition, on a aussi \(x+1>0\) et \(x+4>0\), de sorte que les deux membres \(A\) et \(B\) de l'inéquation de la forme \(A < B\) sont déjà positifs. Dans ce cas, on a équivalence avec \(A^2 < B^2\), ce qui nous donne :
- \((x+4)^2(2x-1) < 2^2(x+1)^2(x+1)\), qui une fois développée et réduite nous donne :
- \(2x^3 -3x^2 -12x +20 > 0\), et on reconnait le polynôme de la question précédente que l'on a factorisé. Cela nous donne :
- \(2(x-2)^2(x+\frac{5}{2}) > 0\)
Un tableau de signe nous offre les solutions : \(x>-\frac{5}{2}\), avec \(x\neq 2\).
Bilan
En tenant compte de l'ensemble de définition, les solutions de l'inéquation \(\left(\mathscr E_6\right)\) sont :
\(x > \dfrac 1 2\), avec \(x\neq 2\).