Degré 3

Les équations de degré 3, de manière générale, ne sont pas au programme. Cependant, les cas particuliers se ramenant au degré 2 peuvent donner lieu à des exercices.

Propriétés : identifier les coefficients

Dans \(\mathbb R\), si deux polynômes sont égaux, alors ils ont les mêmes coefficients.

Exemple : Si \(2x^3 -7x^2+2x+3 = ax^3 +bx^2+cx+d\), alors \(a=2\), \(b=-7\), \(c=2\) et \(d=3\).

Cela semble évident, mais cette propriété est fausse si on ne travaille pas dans \(\mathbb R\).

Exemple de factorisation

\(f(x) = 2x^3 -7x^2+2x+3\)

\(f(x)\) est un polynôme de degré 3 en \(x\).

Dans ce cas particulier, on peut vérifier que \(f(1) = 2-7+2+3 = 0\), ainsi \(1\) est une racine évidente de \(f(x) = 0\). On peut alors factoriser \(f(x)\) par \((x-1)\) et obtenir un autre facteur de degré 2.

\((x-1)(ax^2 + bx + c) = 2x^3 -7x^2+2x+3\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont à déterminer. Pour les déterminer, on développe le membre de gauche et on identifie les coefficients.

• \(f(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c)\)
• \(f(x) = (ax^3 + bx^2 + cx) - (ax^2 + bx + c)\)
• \(f(x) = ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c\)
• \(f(x) = 2x^3 -7x^2+2x+3\)

On déduit immédiatement \(a=2\) et \(c=-3\).

Il reste les deux informations

• \(b - a = -7\), d'où \(b = -7 + 2 = -5\)
• \(c - b = 2\), pour vérifier, \(-3 - (-5) = -3 + 5 = 2\). OK.

Ainsi \(f(x) = (x-1)(2x^2-5x-3)\)

Pour factoriser \(f(x)\) entièrement, il suffit alors de factoriser un trinôme du second degré.

Conseils

Face à un polynôme de degré supérieur à deux,

• on utilisera la calculatrice pour déterminer des racines et, si possible, leur valeur exacte.
• On vérifiera ensuite, par le calcul, les conjectures.
• On factorisera par \((x-r)\) pour chaque racine \(r\) déterminée.

S'il le facteur restant est toujours de degré supérieur à deux, on peut essayer un changement de variable...