Changement de variable

• \(3x^2 + 8x + 5\) est un trinôme du second degré en \(x\).
• \(3t^2 + 8t + 5\) est un trinôme du second degré en \(t\).
• \(3(t+1)^2 + 8(t+1) + 5\) est un trinôme du second degré en \(t+1\).
• \(3t^4 + 8t^2 + 5\) est un trinôme du second degré en \(t^2\).
• \(x-2\sqrt x -3\) est un trinôme du second degré en \(\sqrt x\), en effet, on peut l'écrire \(\left( \sqrt x \right)^2 -2\sqrt x -3\).

Exemple d'utilisation : résoudre \(x-2\sqrt x -3 = 0\)

On pose \(t = \sqrt x\), l'équation s'écrit alors \(t^2-2t-3 = 0\), on obtient un trinôme du second degré en \(t\) dont le discriminant est \(\Delta = (-2)^2 -4×1×(-3) = 4 + 12 = 16\). On constate que \(\Delta > 0\) et on a \(\sqrt \Delta = \sqrt {16} = 4\), l'équation a pour solutions

\[t_1 = \frac{2-4}{2} \text{ et } t_2 = \frac{2+4}{2}\]

D'où \(t = -1\) ou \(t = 3\).

On peut vérifier que \((t+1)(t-3) = t^2-2t-3\)

Il reste à résoudre l'équation \(\sqrt x = t\) pour les deux valeurs de \(t\) trouvées.

1. \(\sqrt x = -1\) n'a aucune solution.
2. \(\sqrt x = 3\) ne possède qu'une seule solution : \(x = 9\).

Conclusion : L'unique solution de \(x-2\sqrt x -3 = 0\) est \(x = 9\). On peut aussi le vérifier en traçant un graphique.