Factorisation⚓︎

Après avoir identifié un trinôme du second degré, on calcule son discriminant et alors, trois cas se présentent.

le discriminant est strictement négatif
le discriminant est nul
le discriminant est strictement positif

Les trois cas du discriminant⚓︎

Discriminant strictement négatif⚓︎

Si \(\Delta < 0\)

L'équation \(f(x) = 0\) n'a pas de solution réelle.
Factorisation : On ne peut pas factoriser \(f(x)\) dans les réels.
Le signe de \(f(x)\) est constant, celui de \(a\).

Preuve

Avec \(f(x) = a\left[\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2 - \dfrac \Delta {4a^2} \right]\) et \(\Delta < 0\), on observe que \(f(x)\) est le produit de \(a\) par la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, donc ne s'annule pas et reste du signe de \(a\).

Discriminant nul⚓︎

L'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution réelle \(x = \dfrac{-b}{2a}\)
Factorisation : \(f(x) = a\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2\)
Le signe de \(f(x)\) est constant, celui de \(a\), sauf en \(x = \dfrac{-b}{2a}\)

Preuve

Avec \(f(x) = a\left[\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2 - \dfrac \Delta {4a^2} \right]\) et \(\Delta = 0\), on tire :

\(f(x) = a\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2\)

Discriminant strictement positif⚓︎

L'équation \(f(x) = 0\) a deux solutions réelles \(\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \(\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\), qu'on appelle les racines.
Factorisation : \(f(x) = a\left(x - \dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a} \right)\left(x - \dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a} \right)\)
Le signe de \(f(x)\) change, c'est
- celui de \(a\) en dehors des racines
- nul aux racines
- l'opposé de celui de \(a\) entre les racines

Exemple de résolution

\[\mathcal E_0 : 3x^2 + 8x + 5 = 0\]

On pose \(f(x) = 3x^2 + 8x + 5\), c'est un trinôme du second degré en \(x\), dont le discriminant est \(\Delta = 8^2 - 4×3×5 = 64 - 60 = 4\).

On constate que \(\Delta > 0\), avec \(\sqrt\Delta = \sqrt 4 = 2\), ainsi on peut dire que ses racines sont :

\[x_1 = \dfrac{-8 - 2}{2×3} \text{ et } x_2 = \dfrac{-8 + 2}{2×3}\]

Les solutions de l'équation sont \(-1\) et \(\frac{-5}3\).

On peut factoriser \(f(x) = 3\left(x-(-1)\right)\left(x-\frac{-5}3\right)\), d'où

\(f(x) = (x+1)(3x+5)\)

Vérification

On développe à nouveau pour vérifier

\(f(x) = (x+1)(3x+5)\)
\(f(x) = x×3x +x×5 +1×3x +1×5\)
\(f(x) = 3x^2 +5x +3x +5\)
\(f(x) = 3x^2 +8x +5\) ; OK

Fonctions Python⚓︎

On peut écrire des fonctions Python utiles que vous pouvez tester.

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from math import sqrtbksl-nlbksl-nldef discriminant(a, b, c):bksl-nl """Renvoie le discriminantbksl-nl du trinôme ax² +bx + cbksl-nl """bksl-nl delta = bpy-strb - 4py-strapy-strcbksl-nl return deltabksl-nlbksl-nldef racines(a, b, c):bksl-nl """Renvoie les racinesbksl-nl du trinôme ax² + bx + cbksl-nl """bksl-nl delta = discriminant(a, b, c)bksl-nl if delta < 0:bksl-nl # il n'y a pas de racinesbksl-nl return [] # une liste videbksl-nl elif delta == 0:bksl-nl return [-b/(2py-stra)] # une liste avec une valeurbksl-nl else:bksl-nl racinepy-unddelta = sqrt(delta)bksl-nl return [bksl-nl (-b - racinepy-unddelta)/(2py-stra),bksl-nl (-b + racinepy-unddelta)/(2py-stra),bksl-nl ] # une liste de deux valeursbksl-nlbksl-nlbksl-nl

Lancer le script, puis testez

🐍 Console Python

>>> %Script exécuté
>>> racines(3, 8, 5)
[-1.6666666666666667, -1.0]

On reconnait bien \(\dfrac{-5}3\) et \(-1\).