Second degré⚓︎
Rappel : Fonctions affines
Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax +b\), avec \(a, b\in \mathbb R\).
- \(b\) est le terme constant, il est égal à \(b×x^0\), on dit que c'est le terme de degré \(0\).
- \(ax\) est le terme proportionnel à \(x\), il est égal à \(a×x^1\), on dit que c'est le terme de degré \(1\) quand \(a\neq0\).
Une fonction polynôme du second degré1 est de la forme \(f(x) = ax^2 + bx +c\), avec \(a, b, c\in \mathbb R\), et \(a\neq 0\).
- \(ax^2\) est le terme de degré \(2\).
- \(f\) est définie sur \(\mathbb R\)
- Le discriminant de \(f\) est \(\Delta = b^2-4ac\)
Forme canonique⚓︎
Avec un peu de calculs, on obtient
\[f(x) = a\left[\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2 - \dfrac \Delta {4a^2} \right]\]
Détails
Vérifier chaque étape pour bien comprendre !
- \(f(x) = ax^2 + bx +c\)
- \(f(x) = a\left(x^2 + 2x\dfrac{b}{2a} + \dfrac c a\right)\)
- \(f(x) = a\left(x^2 + 2x\dfrac{b}{2a} + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} +\dfrac c a\right)\)
- \(f(x) = a\left[\left(x^2 + 2x\dfrac{b}{2a} + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) - \dfrac{b^2}{4a^2} -\dfrac {-4ac} {4a^2}\right]\)
- \(f(x) = a\left[\left(x - \dfrac{-b}{2a} \right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\)
On déduit que
- La représentation graphique est une parabole avec un axe de symétrie \(x_m = \dfrac{-b}{2a}\).
- \(f\) possède un extremum en \(x_m = \dfrac{-b}{2a}\) qui est égal à \(f(x_m) = \dfrac {-\Delta}{4a}\).
Il y a quatre cas suivant le signe de \(\Delta\) et de \(a\).
Représentation graphique⚓︎
En observant la représentation graphique de \(f\), avec \(f(x) = ax^2+bx+c\) et \(a\neq 0\), on peut déterminer le signe de \(a\), de \(b\) et de \(c\).
- L'orientation de la parabole donne le signe de \(a\).
- \(a>0\) pour une parabole orientée vers le haut,
- \(a<0\) pour une parabole orientée vers le bas,
- L'ordonnée à l'origine indique la valeur de \(c\).
- \(f(0) = a×0^2 + b×0 + c = c\)
- Pour la valeur de \(b\), on regarde la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\). En effet, pour \(x\) proche de \(0\), on a \(f(x) \approx bx+c\) et le terme \(ax^2\) devient négligeable pour \(x\) proche de zéro. La courbe représentative de \(f\) possède alors une tangente associée à la fonction affine \(x\mapsto bx+c\).
- \(b\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(0\).
Exemple
- La parabole est orientée vers le bas donc \(a<0\)
- On peut lire directement que \(f(0)=c=-3\)
- Enfin, la tangente au point de coordonnée \((0, -3)\) a un coefficient directeur négatif, donc \(b < 0\).