Exercices corrigés⚓︎

Suites - très simple⚓︎

\((u_n)_n\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_0=55\) et de raison \(r=13\). Donner \(u_{261}\).

Réponse

\((u_n)_n\) est une suite arithmétique donc de la forme \(u_n = u_0+r×n\), où \(r\) est la raison. On déduit

\[u_{261} = 55+13×261 = 3448\]
\((v_n)_n\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0=1234\) et de raison \(q=0,\!789\). Donner un arrondi de \(v_{65}\) avec 4 chiffres significatifs.

Réponse

\((v_n)_n\) est une suite géométrique donc de la forme \(v_n = v_0×q^n\), où \(q\) est la raison. On déduit

\[v_{65} = 1234×0,\!789^{65} \approx 2,\!520×10^{-4} \quad \text{(arrondi à 4 chiffres significatifs)}\]
La suite \((w_n)_n\) est définie par \(w_0 = 0\), et \(w_{n+1} = 3×w_n + 2\) pour tout \(n\in \mathbb N\). Donner \(w_6\).
Réponse

Calculons de proche en proche. (Ne pas écrire « Il faut ...» ; techniquement il existe d'autres méthodes que celle-ci).
- \(w_1 = 3×0+2 = 2\)
- \(w_2 = 3×2+2 = 8\)
- \(w_3 = 3×8+2 = 26\)
- \(w_4 = 3×26+2 = 80\)
- \(w_5 = 3×80+2 = 242\)
- \(w_6 = 3×242+2 = 728\)

Suites - simple⚓︎

\((u_n)_n\) est une suite arithmétique telle que \(u_{10}=-5\), et \(u_{100}=40\). Calculer \(u_1\) et \(u_{1000}\).
Réponse

\((u_n)_n\) est une suite arithmétique, donc \(u_n = u_0+r×n\), avec \(r\in\mathbb R\), on sait que :

\[\begin{cases} u_{10} = u_0+r×10 = -5\\ u_{100} = u_0+r×100 = 40 \end{cases}\]

D'où \(r×(100-10) = 40 - (-5)\), et \(90r=45\), et enfin \(r=\frac12\).

Ensuite, on déduit \(u_0+\frac12×10 = -5\), d'où \(u_0 = -5 - 5 = -10\).

De sorte que pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(u_n=-10 + \dfrac{n}2\).

On déduit
- \(u_{1} = -10 + \frac12 = -9,\!5\)
- \(u_{1000} = -10 + \frac{1000}2 = 490\)
\((v_n)_n\) est une suite géométrique telle que \(v_0=100\) et \(v_2=121\). Calculer \(v_3\) et \(v_4\). (Donner toutes les solutions !)

Réponse

\((v_n)_n\) est une suite géométrique, donc \(v_n = v_0×q^n\), avec \(q\in\mathbb R\), on sait que :

\[v_2 = 100×q^2 = 121\]

On déduit \(q^2=1,\!21\), puis qu'il y a deux solutions : \(q=\pm\sqrt{1,\!21}=\pm1,\!1\).

On obtient \(v_3 = \pm133,\!1\) (deux solutions), et \(v_4=146,\!41\) (une seule solution).

Sigma - simple⚓︎

Écrire sans points de suspension et calculer :

\(A = 1+2+3+4+\cdots+2021\)

Réponse

\(A = \displaystyle\sum_{n=1}^{2021} n = \frac{2021×(2021+1)}2=2\,043\,231\)
\(B = 42+142+242+342+\cdots+10042\)

Réponse

\(B = (42 + 0) + (42 + 100) + (42 + 200) + \cdots + (42 + 10\,000)\)

\(B = (42 + 0\times100) + (42 + 1\times100) + (42 + 2\times100) + \cdots + (42 + 100\times100)\)

\(B = \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 42+100n\)

\(B = \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 42+100\sum_{n=0}^{100}n\)

\(B = 42×101 + 100×\dfrac{100×(100+1)}2\)

\(B = 509\,242\)

Variante : il y a \(101\) termes d'une suite arithmétique, donc la somme est

\(B = 101 \times \dfrac{42 + 10\,042}2 = 509\,242\)
\(C = 1+5+25+125+625+\cdots+5^{12}\)

Réponse

\(C = 5^0+5^1+5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{12}\)

\(C = \displaystyle\sum_{n=0}^{12} 5^n\)

\(C = \dfrac{5^{12+1}-1}{5-1}\)

\(C = 305\,175\,781\)
\(D = 1+3+9+27+\cdots+3\,486\,784\,401\)

Réponse

\(D = 3^0+3^1+3^2+3^3+\dots+3^{20}\)

\(D = \displaystyle\sum_{n=0}^{20} 3^n\)

\(D = \dfrac{3^{20+1}-1}{3-1}\)

\(D = 5\,230\,176\,601\)

Variante, si on ne veut pas chercher l'indice \(20\).

On pose \(n\) l'entier tel que \(3^n = 3\,486\,784\,401\)

\(D = 3^0+3^1+3^2+3^3+\dots+3^n\)

\(D = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} 3^i\)

\(D = \dfrac{3^{n+1}-1}{3-1}\)

\(D = \dfrac{3×3^n-1}{3-1}\)

\(D = \dfrac{3×3\,486\,784\,401-1}{3-1}\)

\(D = 5\,230\,176\,601\)

Placement à taux fixe - Python⚓︎

On place \(1\,000\) € sur un compte qui rapporte avec un taux annuel de \(0,\;\!\!75\)%.

Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de \(0,\;\!\!75\)% ?

Réponse

Le coefficient est \(×\left(1+\dfrac{0,\!75}{100}\right) = 1,\!0075\).

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous qui détermine le nombre d'années nécessaires pour doubler le capital.

🐍 Script Python

def  durée_pour_doubler(capital_initial, taux):
        capital = ???
        année = 0
        while capital < capital_initial * ???:
                capital = (1 + taux / 100) * ???
                année = année + 1
        return année

🐍 Script Python

>>> # utilisations
>>> durée_pour_doubler(1000, 0.75)
???

Réponse

🐍 Script Python

def  durée_pour_doubler(capital_initial, taux):
        capital = capital_initial  # pas nécessairement 1000...
        année = 0
        while capital < capital_initial * 2:  # on souhaite doubler !!
                capital = (1 + taux / 100) * capital  # capital est modifié !
                année = année + 1
        return année

🐍 Script Python

>>> # utilisations
>>> durée_pour_doubler(1000, 0.75)
93

Il y a plusieurs méthodes pour trouver le \(93\). Le plus simple est de lancer le script.

La durée pour doubler un capital dépend-elle du capital initial, du taux ou des deux ?

Réponse

On a \(c_n = c_0×q^n\), le capital double l'année \(n\) signifie \(c_n \approx 2×c_0\), d'où \(c_0×q^n \approx 2×c_0\), et \(q^n \approx 2\). Cette équation ne dépend pas de \(c_0\), le capital initial, mais de \(q\) qui est égal à \(1+\frac{t}{100}\). Ainsi la durée pour doubler un capital dépend du taux, mais pas du capital.

Suite arithmético-géométrique⚓︎

La suite \((a_n)_n\) est définie par \(a_0 = 1\) et \(a_{n+1} = 5a_n + 1\), pour \(n\in \mathbb N\).

Résoudre l'équation \(l = 5×l + 1\).

Réponse

\(-4l=1\), d'où \(l=\frac{-1}4\).
On considère la suite \((b_n)_n\) définie par \(b_n = a_n - \dfrac{-1}4\). Montrer que \((b_n)_n\) est une suite géométrique.

Réponse

\(b_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{-1}4\)

\(b_{n+1} = 5a_{n} + 1 - \dfrac{-1}4\)

D'autre part \(a_n = b_n + \dfrac{-1}4\), d'où

\(b_{n+1} = 5\left(b_n + \dfrac{-1}4\right) + 1 - \dfrac{-1}4\)

\(b_{n+1} = 5b_n + \dfrac{-5}4 + \dfrac44 + \dfrac{1}4\)

\(b_{n+1} = 5b_n\) ; ainsi \((b_n)\) est géométrique de raison \(5\).
En déduire une expression \(a_n\) en fonction de \(n\).

Réponse

On a \(b_0 = a_0 - \dfrac{-1}4 = \dfrac54\).

\(a_n = b_n + \dfrac{-1}4\), et \(b_n=b_0×5^n\), d'où

\(a_n = \dfrac54×5^n + \dfrac{-1}4\)
Donner plusieurs méthodes possibles pour calculer \(a_{42}\). Les calculs ne sont pas demandés ; juste des méthodes expliquées.
Réponse
- On peut utiliser la formule précédente ; mais il faut l'avoir trouvée ! On obtient la réponse en deux opérations.
- On peut calculer de proche en proche avec la définition initiale ; cela pourrait être long dans certains cas.
Donner plusieurs méthodes possibles pour calculer la somme des termes \(a_n\) pour \(n<43\).
Réponse
- On peut calculer la somme de proche en proche en accumulant le résultat.
- \(a_n = 5^n + \dfrac{-1}4\), donc on peut découper la somme des \(a_n\) en deux sommes, il y aura une somme de termes en progression géométrique (on a une formule pour ça), et une somme de termes constants (on a aussi une formule)... On pourra obtenir une formule directe également !

Défis⚓︎

(Facile) Trouver \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(\displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}i = an^2+bn+c\).

Réponse

C'est le cours.

\(S_1(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}i = \frac{n(n+1)}2 = \frac{n^2+n}2= \frac12n^2+\frac12n+0\)

Ainsi, \(a=\frac12\), \(b=\frac12\), \(c=0\)
(Moyen) Trouver \(b\), \(c\), \(d\) tels que \(S_2(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}i^2 = \frac13n^3+bn^2+cn+d\).
Réponse
- On a \(S_2(0)=0\), on déduit \(d=0\).
- On écrit un système de deux équations à deux inconnues \(b\) et \(c\), on prenant (par exemple) \(n=1\), puis \(n=2\).
- \(\begin{cases} \dfrac13×1^3 + b×1^2 + c×1 = 0^2+1^2\\ \dfrac13×2^3 + b×2^2 + c×2 = 0^2+1^2+2^2\\ \end{cases}\), on a traduit le problème avec \(n=1\), puis \(n=2\).
- \(\begin{cases} \dfrac13 + b + c = 1\\ \dfrac83 + 4b + 2c = 5\\ \end{cases}\), on a réduit, on va tout multiplie par \(3\).
- \(\begin{cases} 1 + 3b + 3c = 3\\ 8 + 12b + 6c = 15\\ \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 3b + 3c = 2\\ 12b + 6c = 7\\ \end{cases}\), on a mis sous forme classique, et va multiplier la première ligne par \(-2\).
- \(\begin{cases} -6b - 6c = -4\\ 12b + 6c = 7\\ \end{cases}\), on ajoute les deux lignes.
- \(\begin{cases} 6b = 3\\ 2×3 + 6c = 7\\ \end{cases}\), dans la deuxième ligne, on a remplacé \(12b\) par \(2×6b = 2×3\).
- \(\begin{cases} b = \dfrac12\\ c = \dfrac16\\ \end{cases}\), on a trouvé \(b\) et \(c\).
- Ainsi \(S_2(n)=\dfrac13n^3 + \dfrac12n^2 + \dfrac16n\), ou plus simplement
- \(S_2(n)=\dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}6\)
- Vérification
  - \(\dfrac{2×5^3 + 3×5^2 + 5}6 = \dfrac{250+75+5}6 = 55\)
  - Or \(S_2(5)=0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 0+1+4+9+16+25 = 55\)
(Dur) Trouver une formule pour \(S_3(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}i^3\).

Réponse

Ce sera un excellent exercice ! Cherchez !!! Ce n'est pas si dur, et vous progresserez.

Indice : C'est encore un polynôme, qui commence par \(\frac14n^4\), et finit aussi par \(+0\). Il vous reste trois termes à trouver !

Magie : Montrer ensuite que \(S_3(n) = \left(S_1(n)\right)^2\), pour tout \(n\in\mathbb N\).

Sigma⚓︎

Écrire sans suspensions les sommes suivantes et détailler leur calcul.

\(A = 7×5^{10} + 7×5^{11} + 7×5^{12} + \cdots + 7×5^{20}\)
Réponse
- \(\displaystyle A = \sum_{n=10}^{20} 7×5^{n}\)
- \(\displaystyle A = 7×\sum_{n=10}^{20} 5^{n}\)
- \(\displaystyle A = 7×\left(\sum_{n=0}^{20} 5^{n} - \sum_{n=0}^{9} 5^{n}\right)\)
- \(A = 7×\left(\dfrac{5^{20+1}-1}{5-1}-\dfrac{5^{9+1}-1}{5-1}\right)\)
- \(A = 7×\left(\dfrac{5^{21}-1-5^{10}+1}{5-1}\right)\)
- \(A = 7×\left(\dfrac{5^{11+10}-5^{10}}{4}\right)\)
- \(A = 7×5^{10}×\left(\dfrac{5^{11}-1}{4}\right)\)
- \(A = 834\,465\,009\,765\,625\)
Variante
- \(\displaystyle A = 7×\sum_{n=10}^{20} 5^{n}\)
- \(\displaystyle A = 7×\sum_{i=0}^{10} 5^{10+i}\), avec le changement de variable \(n = 10+i\)
- \(\displaystyle A = 7×\sum_{i=0}^{10} 5^{10}×5^i\)
- \(\displaystyle A = 7×5^{10}×\sum_{i=0}^{10} 5^i\)
- \(A = 7×5^{10}×\left(\dfrac{5^{11}-1}{4}\right)\)
- \(A = 834\,465\,009\,765\,625\)
\(B = 999 + 1999 + 2999 + 3999 + \cdots + 42999\)
Réponse
- \(B = (1000 - 1) + (2000-1) + (3000-1) + (4000 - 1) + \cdots + (43000 - 1)\)
- \(B = (1×1000 - 1) + (2×1000 - 1) + (3×1000 - 1) + (4×1000 - 1) + \cdots + (43×1000 - 1)\)
- \(B = \displaystyle\sum_{n=1}^{43}(n×1000 - 1)\)
- \(B = \displaystyle\left(\sum_{n=1}^{43}n\right)×1000 - \sum_{n=1}^{43}1\)
- \(B = \displaystyle\left(\dfrac{43×(43+1)}2\right)×1000 - 43\)
- \(B = 43×22×1000 - 43\)
- \(B = 945\,957\)
\(C = 7 + 21 + 63 + 189 + \cdots + 100\,442\,349\)
Réponse
- \(C = 7×3^0 + 7×3^1 + 7×3^2 + 7×3^3 + \cdots +7×3^{15}\)
- \(\displaystyle C = \sum_{n=0}^{15} 7×3^n\)
- \(\displaystyle C = 7×\sum_{n=0}^{15} 3^n\)
- \(C = 7×\dfrac{3^{15+1}-1}{3-1}\)
- \(C = 7×\dfrac{3^{16}-1}2\)
- \(C = 150\,663\,520\)

Suite arithmético-géométrique - général⚓︎

On considère la suite¹ \((u_n)\) définie par la donnée de \(u_0\) supposé connu, et la relation \(u_{n+1} = a×u_n + b\) avec \(a\) et \(b\) connus, avec \(a\neq1\).

Résoudre l'équation \(l = a×l + b\) dont l'inconnue est \(l\).
Réponse
- \(l -al = b\)
- \((1-a)l = b\), attention, avec \(l-a\neq 1\).
- \(l = \dfrac{b}{1-a}\)
On considère la suite \(v_n = u_n - l\).
1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\).
  
  Réponse
  
  \(u_n = v_n + l\)
2. Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
  Réponse
  - \(v_{n+1} = u_{n+1} - l\)
  - \(v_{n+1} = a×u_n + b - l\)
3. En déduire que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\).
  Réponse
  - \(v_{n+1} = a×(v_n+l) + b - l\)
  - \(v_{n+1} = a×v_n + al + b - l\)
  - \(v_{n+1} = a×v_n\), d'après la définition de \(l\).
  - Ainsi \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(a\).
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), \(v_0\) et \(a\).
Réponse
- \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\), donc
- Pour tout \(n \in \mathbb N\), \(v_n = v_0×a^n\).
Exprimer \(v_0\) en fonction de \(u_0\), \(a\) et \(b\).
Réponse
- \(v_0 = u_0 - l\)
- \(v_0 = u_0 - \dfrac{b}{1-a}\)
En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\) et \(a\).
Réponse
- \(u_n = v_n + \dfrac{b}{1-a}\)
- \(u_n = \left(u_0 - \dfrac{b}{1-a}\right)×a^n + \dfrac{b}{1-a}\)

Suite arithmético-géométrique ↩