Suites géométriques⚓︎
On a vu que pour une suite arithmétique \((u_n)\), on a pour tout \(n\in \mathbb N\) : \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison.
De la même manière, on dira qu'une suite \((v_n)\) est géométrique1, si pour tout \(n\in \mathbb N\) : \(v_{n+1} = v_n \times q\), où \(q\) est la raison.
Pourquoi \(q\) ?
\(q\) comme quotient. Si les termes sont non nuls, on a pour tout \(n\in \mathbb N\) : \(\dfrac {v_{n+1}}{ v_n } = q\).
Pourquoi \(v\) ?
On met ce qu'on veut. On peut utiliser \(u\), si c'est disponible.
Y a-t-il une formule pour le terme d'indice \(n\) ?
Oui. Étudions ça.
On considère une suite géométrique de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\). On a :
- \(v_0 = v_0 = v_0\times q^0\)
- \(v_1 = v_0 \times q = v_0\times q^1\)
- \(v_2 = v_0 \times q\times q = v_0\times q^2\)
- \(v_3 = v_0 \times q\times q \times q= v_0\times q^3\)
Et de manière générale :
Formule
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(v_n = v_0 \times q^n\)
Exemple avec NumWorks
Pour obtenir la variable n sur la calculatrice, on peut appuyer sur la touche x, n, t, en haut, à côté de alpha.
Comme pour toute suite numérique, on peut visualiser la suite sur un graphique ainsi que dans un tableau.
Utilisations classiques⚓︎
Exercice type
Une suite géométrique est telle que \(u_{10}=14.13\) et \(u_{12}= 16.481232\). Quelle est la raison de cette suite ?
Réponse
La suite est géométrique, elle est donc de la forme \(v_n = v_0×q^n\) où \(v_0\) et \(q\) sont des réels inconnus.
On sait que
- \(v_{10} = v_0×q^{10} = 14.13\)
- \(v_{12} = v_0×q^{12} = 16.481232\)
On déduit \(v_{12} = v_0×q^{10}×q^2 = 14.13×q^2 = 16.481232\)
Et enfin que \(q^2 = \dfrac{16.481232}{14.13} = 1.1664\)
Il y a deux solutions :
- \(q = \sqrt{1.1664} = 1.08\)
- ou bien \(q = -\sqrt{1.1664} = -1.08\)
Augmentation en pourcentage⚓︎
Rappel
Augmenter une quantité de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(\left(1+\dfrac t{100}\right)\).
Exemple : \(2300\) augmenté de \(7\,\%\) est égal à \(2300×\left(1+\dfrac 7{100}\right) = 2461\).
Ainsi une situation avec un point de départ donné et une augmentation à taux constant est modélisée avec une suite géométrique.
Si l'augmentation est à valeur constante, c'est une suite arithmétique.
Pour une diminution, il suffit de considérer une augmentation avec un taux négatif.
Avec Python⚓︎
- Un récipient fuit et perd \(3\%\) de sa contenance chaque jour.
- Il est rempli de \(30\,000\,\text{L}\) au début.
Vous pouvez lancer (et modifier) le script Python ci-dessous :
contenance = 30000bksl-nlcoeff = 1 - 3/100bksl-nljour = 0bksl-nlwhile contenance >= 2000:bksl-nl jour = jour + 1bksl-nl contenance = contenance py-str coeffbksl-nlbksl-nlprint(jour)bksl-nlbksl-nl
A
Z
Question
À quoi sert le script Python ci-dessus ?
Réponse
Ce script modélise la situation avec une suite géométrique et donne le nombre de jours à attendre pour que le récipient contienne moins de \(30\,000\,\text{L}\).
Au bout de 89 jours, il y aura moins de \(30\,000\,\text{L}\).
Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique⚓︎
Avec premier terme égal à 1⚓︎
On pose \(q\neq1\), et on considère : \(S_n = 1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n\)
On a \(qS_n = q+q^2+q^3\cdots+q^n+q^{n+1}\), on déduit \(qS_n - S_n = q^{n+1} - 1\), d'où
si \(q \neq 1\)
Cette formule est à retenir !
si \(0 \leqslant q < 1\)
On peut utiliser une variante équivalente
L'avantage étant que le numérateur et le dénominateur deviennent positifs.
si \(q=1\)
La suite est aussi arithmétique dans ce cas, de raison \(1\).
\(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n = n+1\), si \(q=1\).
Parfois, même, on peut lire que si \(q=1\) la suite n'est pas géométrique.
Avec premier terme quelconque⚓︎
Il suffit de factoriser par le premier terme.
\(S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_{n-1} + v_n\)
\(S_n = v_0\times 1+v_0\times q+ v_0\times q^2+\cdots+v_0\times q^{n-1}+v_0\times q^n\)
\(S_n = v_0\times \left(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n\right)\)
On se ramène alors au cas précédent.