Suites arithmétiques⚓︎

Exemple simple

graph

Graphique de la suite que l'on peut définir par

\(u_n = 2n-3\) pour \(n\in\mathbb N\)
- comme montré à la page précédente
ou alors, de manière équivalente, par
- \(u_0 = -3\)
- \(u_{n+1} = u_n + 2\) pour \(n\in\mathbb N\)

rec1 rec2

Les suites arithmétiques¹ sont les suites que l'on peut définir :

avec une fonction affine explicite ;
ou bien, de manière équivalente,
- le premier terme est donné
- un terme suivant se calcule comme la somme du terme courant et d'une valeur constante, nommée la raison.

Propriétés

\((u)\) est arithmétique \(\iff\) il existe \(a, b \in \mathbb R\) tel que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n = a\times n + b\).

Dans ce cas, on a \(u_0 = b\), et pour tout \(n\in \mathbb N\),
\(u_{n+1}= a\times(n+1) + b\)
\(u_{n+1}= an + a + b\)
\(u_{n+1}= an+b + a\).
\(u_{n+1}= u_n + a\).

On dit que cette suite est arithmétique de raison \(a\) et de premier terme \(b\).
On peut définir une suite arithmétique par la donnée de sa raison (souvent notée \(r\)) et de son premier terme \(u_0\).

Dans ce cas, on a pour tout \(n\in \mathbb N \quad u_{n+1} - u_n = r \quad \textrm{et} \quad u_n = u_0 + rn\).
On a aussi pour tout \(n\in \mathbb N \quad u_{n+1} = u_n + r\)

Exercice type

\((u_n)\) est une suite arithmétique telle que \(u_{10} = 1757\) et \(u_{100} = 5537\), déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\).

Réponse

\(u_n\) est arithmétique, donc il existe des nombres \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(n\in \mathbb N \quad u_n = an+b\)

On a \(u_{100} = 100a +b = 5537\), et \(u_{10} = 10a +b = 1757\), par soustraction on obtient :
\(u_{100} - u_{10} = 100a - 10a = 5537 - 1757\), d'où l'on tire
\(90a = 3780\), et donc \(a = \dfrac{3780}{90} = 42\).

On a donc, pour tout \(n\in \mathbb N \quad u_n = 42n+b\), et avec \(n=10\), on a:
\(u_{10} = 42\times10 + b = 1757\), d'où \(b = 1757 - 420 = 1337\).
On aurait également trouvé \(b=1337\), de la même manière, en utilisant \(u_{100} = 5537\).

Conclusion : pour tout \(n\in \mathbb N \quad u_n = 42n + 1337\).

Vérification

\(u_{10} = 42×10 + 1337 = 420+1337 = 1757\) ; OK
\(u_{100} = 42×100 + 1337 = 4200 + 1337 = 5537\) ; OK

Penser à faire ce genre de vérification, c'est rapide et rassurant !

Culture geek

\(42\) est la réponse à la grande question sur la vie, l'univers et le reste.
\(1337\) est un code qui se prononce Elite, où l'on remplace les lettres par d'autres symboles.
- L est remplacé par 1, en anglais on prononce comme : elle
- E est remplacé par 3, en anglais on prononce comme : i
- T est remplacé par 7, en anglais on prononce comme : t
- (elle, i, i, t) se prononce alors comme elite en anglais.

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique⚓︎

Étape 1 : Sn = 0+1+2+3+4+…+n⚓︎

Notre objectif est d'établir une formule pour \(S_n\). On l'écrit dans un sens, puis à l'envers, on ajoute les termes qui se correspondent de façon à obtenir \(2S_n\) qui est la somme de \((n+1)\) termes tous égaux.

\(S_n\)	\(=0\)	\(+1\)	\(+2\)	\(\cdots\)	\(+(n-2)\)	\(+(n-1)\)	\(+n\)
\(+S_n\)	\(=n\)	\(+(n-1)\)	\(+(n-2)\)	\(\cdots\)	\(+3\)	\(+2\)	\(+1\)
\(2S_n\)	\(=n\)	\(+n\)	\(+n\)	\(\cdots\)	\(+n\)	\(+n\)	\(+n\)

Il y a \((n+1)\) termes de \(0\) à \(n\) inclus.

On tire \(2S_n = n(n+1)\).

Conclusion

Pour tout \(n\in \mathbb N \quad 0+1+2+3+4+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}2\).

Cas général⚓︎

Pour une suite arithmétique \((u)\) de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), la somme des premiers termes est :

\[S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{n-2}+ u_{n-1}+ u_n\]

\[S_n = u_n + u_{n-1} + u_{n-2} + \cdots + u_{2}+ u_{1}+ u_0\]

Remarquons une chose :

\(u_{n} + u_0 = u_0+n×r+u_0 = 2u_0+u_n\)
\(u_{n-1} + u_1 = \left(u_0 + (n-1)×r\right) + (u_0 + 1×r) = 2u_0 + n×r = u_0 + u_n\)
\(u_{n-2} + u_2 = \left(u_0 + (n-2)×r\right) + (u_0 + 2×r) = 2u_0 + n×r = u_0 + u_n\)
\(u_{n-i} + u_i = \left(u_0 + (n-i)×r\right) + (u_0 + i×r) = 2u_0 + n×r = u_0 + u_n\), de manière générale.

De sorte que :

\[2S_n = (n+1)×(u_0+u_n)\]

\[S_n = (n+1)×\dfrac{u_0+u_n}2\]

Que l'on peut traduire en :

À retenir

La somme de termes d'une suite arithmétique est la moyenne entre le premier et le dernier terme, multiplié par le nombre de termes.

Exemple

Quelle est la somme \(2000 + 2100 + 2200 + \cdots + 50000\) ?

Réponse

Il s'agit bien d'une somme de termes d'une suite arithmétique de raison \(100\). La question délicate étant : combien y a-t-il de termes ?

Cette somme vaut \(\dfrac{2000 + 50000}2 × q\) où \(q\) est le nombre de termes de cette somme.

On peut dire que la suite arithmétique associée est \((u)\), avec \(u_0=2000\) et de raison \(100\).

Le dernier terme considéré est \(u_n = 2000 + n×100 = 50000\), d'où \(n = \dfrac{48000}{100} = 480\).

Il y a donc \(q=81\) termes de \(u_0\) à \(u_{480}\).

La somme vaut donc \(\dfrac{2000 + 50000}2 × 481 = 26000×481 = 12\,506\,000\).

Variante

La somme est constituée des multiples de \(100\), de \(2000\) à \(50000\), on peut dire que :

\(S = 2000 + 2100 + 2200 + \cdots + 50000\)
\(S = (0 + 100 + 200 + \cdots + 50000) - (0 + 100 + 200 + \cdots + 1900)\)
\(S = 100(0 + 1 + 2 + \cdots + 500) - 100×(0 + 1 + 2 + \cdots + 19)\)
\(S = 100×\dfrac{500×501}2 - 100×\dfrac{19×20}2\)
\(S = 12\,525\,000 - 19\,000 = 12\,506\,000\)

Variante avec Python

Cliquez sur chaque bulle pour avoir une explication.

🐍 Script Python

somme = 0  # (1)!
u = 2000  # (2)!
while u <= 50000:  # (3)!
    somme = somme + u  # (4)!
    u = u + 100  # (5)!

print(somme)  # (6)!

On initialise somme à 0
On initialise u à 200
On répète en boucle tant que u < 50000
somme augmente de u
u augmente de 100
On affiche somme

📤 Sortie

12506000

Pour augmenter la valeur d'une variable, on écrit que sa nouvelle valeur est égale à son ancienne valeur plus la quantité à augmenter, par exemple u = u + 100 n'est pas une équation, c'est une affectation. La nouvelle valeur de u est égale à l'ancienne valeur plus 100. Ainsi u a augmenté de 100.

Quelle méthode choisir ?

La version Python est généralisable facilement à tout type de suite.
Les versions mathématiques permettent d'obtenir des résultats théoriques dans certains cas particuliers.

Il faut savoir faire les deux méthodes !

Suite arithmétique ↩