Définitions générales⚓︎

Une suite est une liste ordonnée d'éléments, qu'on appelle termes.

Exemples

\(a = (A, B, C, \cdots , Y, Z)\) est la suite ordonnée des lettres majuscules de l'alphabet latin, c'est une suite finie.
\(b = (1, 3, 5, 7, \cdots)\) est la suite ordonnée des entiers positifs impairs, elle est infinie.
\(F = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \cdots)\) est la suite débutant par \(0\) puis \(1\) et dont les termes suivants sont la somme des deux précédents. C'est la suite de Fibonacci.
\(h = (1, \frac12, \frac13, \frac14, \cdots)\), \(h\) pour suite harmonique.

Vocabulaire

On dit qu'une suite est numérique quand ses termes sont des nombres.
Les termes sont indicés avec des entiers dans \(\mathbb N\).
- \(a_0 = A\), \(a_1 = B\), ... \(a_{25} = Z\) ; les termes sont définis un à un.
- \(b_0 = 1\), \(b_1 = 3\), \(b_2 = 5\), et pour tout \(n\in\mathbb N\), \(b_n = 2n+1\) ; les termes sont définis de manière explicite.
- \(F_0=0\), \(F_1=1\), et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\) ; les termes sont définis de manière récursive.
- \(h_n = \frac1n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\), \(h_0\) n'est pas défini !
Il y a plusieurs notations pour une suite :
- La suite \(u\), son premier terme \(u_0\).
- La suite \((u)\), son dixième terme \(u_9\).
- La suite \((u_n)_n\), son terme de rang \(n\) : \(u_{n}\).
- La suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\).
- On préfère les notations courtes, mais on utilise les notations longues pour lever des ambigüités. Dans ce cours, on utilisera principalement \((u_n)\) pour une suite dont les termes sont \(u_n\).

Comment définir une suite numérique ?

Définir une suite numérique, c'est donner assez d'informations pour pouvoir calculer ses termes.

On peut donner une formule explicite pour chaque terme.
- Exemple : \(u_n = (4n-3)×(5n-2)\), pour \(n\in\mathbb N\).
On peut aussi donner les premiers termes et une relation de récurrence pour trouver les suivants en fonction des précédents.
- Exemple avec la suite de Fibonacci citée précédemment.
On peut faire autrement, mais c'est plus délicat...

Conseils

En mathématiques, on choisit souvent une seule lettre pour le nom d'une suite, et en particulier la suite \((u_n)_{n\in \mathbb N}\) est la plus souvent choisie pour désigner une suite générique.
En informatique, on pourra choisir un nom de variable à plusieurs lettres pour stocker les premiers termes d'une suite. On utilisera une structure de donnée linéaire.
- Avec Python, on utilisera une liste (list).
- Avec un tableur, on utilisera des cellules contigües.

Calculatrice NumWorks⚓︎

C'est une calculatrice dont on peut télécharger librement un émulateur pour ordinateur ou pour tablette, voire téléphone.
Un émulateur en ligne est disponible ici, localement.

AccueilSuitesChoixDéfinitionGraphiqueTableau

accueil

Avec les flèches, on accède au menu Suites.

suites

On peut alors définir une suite

Choix

On peut créer une suite de manière explicite.

définition

On prend ici l'exemple de la suite telle que \(u_n = 2n-3\) pour \(n\in\mathbb N\).

graph

On peut tracer une représentation graphique et se déplacer sur les points crées. On peut alors observer les variations de la suite.

tableau

On peut aussi visualiser un tableau de valeurs.

Tableur⚓︎

Formules explicites⚓︎

Avec un tableur, on peut construire des suites de manière explicite.

On construit une première colonne avec les indices ; on écrit 0 dans la case A1 et on l'étire vers le bas.
Il suffit alors d'écrire = f(A1) dans la case B1, puis d'étirer vers le bas. On remplacera f par la fonction de son choix...
Ici, on représente la suite avec \(u_n = \dfrac1{1+n^2}\)

On peut aussi insérer une première ligne pour l'étiquette. \(\boxed{n}\) et \(\boxed{u_n}\) par exemple.
On peut alors obtenir un beau graphique à insérer dans un document.
- On clique sur Insérer un diagramme

Type de diagrammePlage de donnéesSéries de donnéesÉléments du diagramme

Ensuite, on clique sur Ligne, on garde Points seuls, et Suivant >.

On conserve : Séries de données en colonnes
On conserve : Première ligne comme étiquette ( si on l'a bien ajoutée)
On coche : Première colonne comme étiquette ; pour avoir la seconde colonne en fonction de la première.
puis Suivant >.

Rien de particulier ; Suivant >.

On complète les titres et la légende.
C'est terminé.

Résultat

Formules par récurrence⚓︎

Avec un tableur, on peut aussi construire des suites définies par récurrence. Par exemple, pour la suite de Fibonacci :

On écrit les premiers termes dans les cases A1 (0) et A2 (1).
Dans A3, on écrit = A1 + A2, et on étire vers le bas.

La première ligne est numérotée 1, mais elle correspond ici à l'indice 0.

On peut aussi tracer des graphiques avec le même procédé que précédemment.

Langage Python⚓︎

Fonction explicite⚓︎

Il peut être utile de définir une fonction qui prend l'indice en paramètre, on peut alors lancer le script et l'utiliser dans la console. L'exemple ci-dessous peut être reproduit aussi dans la calculatrice NumWorks ; il suffit d'aller dans le menu Python, d'ajouter un script et de l'exécuter.

Exemple

On définit la suite telle que \(u_n = \dfrac1{1+n^2}\)

###

def u(n):bksl-nl return 1 / (1 + npy-strpy-str2)bksl-nlbksl-nl

Lancez le script,
puis testez >>> u(5) pour calculer \(u_5\).

Résultat

🐍 Console Python

>>> %Script exécuté
>>> u(5)
0.038461538461538464
>>>

Exemples ludiques⚓︎

Curiosité

Saurez-vous trouver les termes suivants ?

M ♡ 8 M

Réponse

Ces symboles possèdent un axe de symétrie.
Placez-les en colonnes de façon à partager l'axe commun de symétrie.
N'étudiez qu'une moitié...
Vous devriez observer 1 2 3 4 et donc déduire les termes suivants.

La suite audioactive de Conway

Saurez-vous trouver les termes suivants ?

\[1\]

\[11\]

\[21\]

\[1211\]

\[111221\]

\[312212\]

\[\cdots\]

Réponse

En anglais, cette suite s'appelle Look and say qu'on a traduit en audioactive.

On lit les chiffres d'une ligne, par lots.

Sur la première ligne, il y a un \(1\), donc on écrit \(11\) sur la deuxième ligne.
Sur la deuxième ligne, il y a deux \(1\), donc on écrit \(21\) sur la troisième ligne.
Sur la troisième ligne, il y a un \(2\) et un \(1\), donc on écrit \(1211\) sur la quatrième ligne.
Sur la quatrième ligne, il y a un \(1\), un \(2\) et deux \(1\), donc on écrit \(111221\) sur la cinquième ligne.
...

Cela fait un joli exercice pour des élèves en NSI : écrire une fonction qui donne, en fonction d'une ligne donnée, la ligne suivante.

🐍 Console Python

>>> audioactive("111221")
'312212'